2009/11/19
◇◆ 県立高校入試過去問 ◆◇ vol.15 ≪平成18年 数学[5](1)≫
□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ ◇◆ 県立高校入試過去問 ◆◇ vol.15 ≪平成18年 数学[5](1)≫ 2009/11/19配信 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 問題 → 標準時間 → ★１★ → ★２★ → ★３★ → ★４★ → ★まとめ★ このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。 各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 平成１８年 数学[5] 右の図のように、点Ａを頂点とし、点Ｏを中心とする円を底面とする円すいが ある。母線ＡＢの長さは６cm、円Ｏ直径ＢＣの長さは４cmである。また、点Ｃ からこの円すいの側面にそって母線ＡＢと交わり１周して点Ｃにもどってくる 最短の線をひき、ひいた線が母線ＡＢと交わる点をＤとする。点Ｐは点Ａを出発 し、母線ＡＢ上を秒速１cmで点Ｂまで動く。 (この文章の右側に円すいがあり、頂点がＡ、底面の中心がＯ、底面の左端がＢ、 右端がＣ、母線ＡＢ上にＡに近い方からＰ，Ｄがあり、ＰとＯ、ＢとＣをそれぞれ 結ぶ点線があり、円すいの表面上をＣ，Ｄを通って描かれた円がある) このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。 (1) 線分ＯＰの長さが最短となるのは、出発してから何秒後か求めなさい。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ まずは図形を丁寧に描いて、ノーヒントで解いてみましょう。 制限時間は５分！ ノートと筆記用具を用意して、ケータイなどでタイマーを５分にセット！ 準備は良いですか？ ・・・スタート！！ タイマーが鳴ったら終了！ 解けても解けなくても終了です。 お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう！ > ---------------------------------------------------------------------- > 発行者のえまよりお知らせです > > 江間塾は「ＡＥ個別学習室」と改称し、赤塚駅から徒歩１２分のマンションに > 教室を開設しました。家庭教師の生徒さんも引き続き募集中です。 > 詳しくは http://www.a-ema.com/ などをご覧ください。 > > ---------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------ ★１★ ------------------------------------------------------------------------ 図形の問題の最短距離は、だいたい次のようにすれば求めることができます。 立体図形の表面の最短距離を求める場合は・・・ ○ 展開図を描いて２点を直線で結び、その長さを求める。 点と直線の最短距離を求める場合は・・・ ○ 点から直線へ垂線をひいて、その長さを求める。 最短距離を求めるために自分でひいた線は、大抵は斜めの線になるので、三平方 の定理は必須事項ですね。 この問題の場合は、直接的に答える事柄は動き始めてからの時間ですが、１秒 あたり１cm動くので、ＡＰの長さ(cm)と経過した時間(秒)は同じになります。 そして、設問では「ＯＰが最短になるとき」と言っているので、つまりはＯＰと ＡＢが垂直になるときのＡＰの長さを求める。という方向性になるんだな～ みたいに発想してもらえるとすばらしいと思います。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★１★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★２★ ------------------------------------------------------------------------ 立体図形のときも、計算するのに必要な平面を取り出すと、平面図形の問題と 同じ解き方で解けるようになります。 この問題の場合は、線分ＯＰとかＡＢとかを使うので、これらの線分が含まれて いる図形を取り出すようにしてみましょう。 どこに着目すればいいか気がつきましたか？ ＯＰとＡＢが入っている図形です。 ・・・△ＡＢＣです。 △ＡＢＣならば、ＡＢもＯＰも入ってますね。 ってことで、△ＡＢＣを取り出し、点ＯからＡＢに垂線を引き、その足をＰと します。さらに、ここに問題の設定から分かる長さなどを書き込んでいきます。 ＡＢが６cm，ＢＣが４cm。 まずはこれらは問題文に書いてあるので、当然書き込みます。 しかし、これだけではまだまだわかりません。 他にも図形の性質からわかることをどんどん書いていきましょう！ 例えば、ＯはＢＣの中点なのでＢＯ＝ＣＯ＝２cmとか、△ＡＢＣは二等辺三角形 なのでＡＯ⊥ＢＣとか・・・ ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★２★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★３★ ------------------------------------------------------------------------ △ＡＢＣにいろいろ書き込みましたね？ 特に計算をしなくても分かることはだいたいこれくらいでしょう。 あとはもう少し難しい(?)性質を利用して求めていく必要があるわけです。 直角三角形の中にさらに直角三角形があるような図形です。 そんなときは・・・互いに相似になるのでしたね？ なるのです。 △ＡＢＯ、△ＡＯＰ、△ＯＢＰ いずれも直角があるということは、まず一つの角は等しい事は明らかで、残りも 共通な角があったりするので、「２組の角がそれぞれ等しい」という相似条件を 満たします。つまり、これらの３つの三角形は互いに相似になります。 相似な三角形は対応する辺の比が等しくなります。 ってことは、ＡＰを使って比の式を作れば、方程式になって解けるな～ みたいな見当をつけることができるはずです。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★３★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★４★ ------------------------------------------------------------------------ 実際にやってみましょう。 ＡＰ：ＡＯ＝ＡＯ：ＡＢ 例えばこんな式ができますね。 しかし、この式には値がわからないものが２つもあります。ＡＰとＡＯです。 ＡＰは最終目標なのでおいておくとして、ＡＯが分からないと困りますね。 それなら求めてしまいましょう。 ＡＯは直角三角形の一辺なので、三平方の定理で求めることができそうです。 ＡＯ^2＋ＢＯ^2＝ＡＢ^2 ＡＯ^2＋２^2＝６^2 ＡＯ^2＝３６－４ ＡＯ^2＝３２ ＡＯ＝√３２＝４√２ これを先ほどの比の式に代入してみます。 ＡＰ：４√２＝４√２：６ ６ＡＰ＝４√２×４√２ ６ＡＰ＝１６×２ ＡＰ＝３２／６ ＡＰ＝１６／３ これはつまり、ＯＰとＡＢが垂直のときのＡＰの長さです。 １秒１cmなので、求める時間は・・・１６／３秒 ------------------------------------------------------------------------ ★まとめ★ ------------------------------------------------------------------------ １秒１cmだから、長さと時間は同じだね → 最短なのは垂直のときなんだって → 立体のままじゃわかりにくいから、平面を取り出してみよう → 二等辺三角形とか直角三角形の性質を使って・・・ → 相似とか三平方の定理が使えちゃうね → 対応する辺の比は等しいから、方程式が作れる！ → あとは解くだけだね。一応答え方と単位に注意！ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ------------------------------------------------------------------------ 発行者：ＡＥ個別学習室／プロ家庭教師の江間淳 http://www.a-ema.com/ ------------------------------------------------------------------------ 無断転載・引用を禁じます。
