茨城県立高校入試過去問解説  RSSを登録する

漢字だらけのタイトルの通り、茨城県の県立高校入試の過去問を詳細に解説します。数学を中心に英語、理科など。他県の生徒さんにも役に立つと思います!

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2009/11/19

◇◆ 県立高校入試過去問 ◆◇ vol.15 ≪平成18年 数学[5](1)≫

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◇◆ 県立高校入試過去問 ◆◇ vol.15 ≪平成18年 数学[5](1)≫
                            2009/11/19配信
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問題 → 標準時間 → ★1★ → ★2★ → ★3★ → ★4★ → ★まとめ★
このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。
各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。

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平成18年 数学[5]

 右の図のように、点Aを頂点とし、点Oを中心とする円を底面とする円すいが
ある。母線ABの長さは6cm、円O直径BCの長さは4cmである。また、点C
からこの円すいの側面にそって母線ABと交わり1周して点Cにもどってくる
最短の線をひき、ひいた線が母線ABと交わる点をDとする。点Pは点Aを出発
し、母線AB上を秒速1cmで点Bまで動く。
(この文章の右側に円すいがあり、頂点がA、底面の中心がO、底面の左端がB、
右端がC、母線AB上にAに近い方からP,Dがあり、PとO、BとCをそれぞれ
結ぶ点線があり、円すいの表面上をC,Dを通って描かれた円がある)

 このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。
(1) 線分OPの長さが最短となるのは、出発してから何秒後か求めなさい。



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まずは図形を丁寧に描いて、ノーヒントで解いてみましょう。

制限時間は5分!
ノートと筆記用具を用意して、ケータイなどでタイマーを5分にセット!

準備は良いですか?

・・・スタート!!










タイマーが鳴ったら終了!
解けても解けなくても終了です。
お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう!
> ----------------------------------------------------------------------
> 発行者のえまよりお知らせです
> 
> 江間塾は「AE個別学習室」と改称し、赤塚駅から徒歩12分のマンションに
> 教室を開設しました。家庭教師の生徒さんも引き続き募集中です。
> 詳しくは http://www.a-ema.com/ などをご覧ください。
> 
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                 ★1★
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図形の問題の最短距離は、だいたい次のようにすれば求めることができます。


立体図形の表面の最短距離を求める場合は・・・

○ 展開図を描いて2点を直線で結び、その長さを求める。


点と直線の最短距離を求める場合は・・・

○ 点から直線へ垂線をひいて、その長さを求める。


最短距離を求めるために自分でひいた線は、大抵は斜めの線になるので、三平方
の定理は必須事項ですね。

この問題の場合は、直接的に答える事柄は動き始めてからの時間ですが、1秒
あたり1cm動くので、APの長さ(cm)と経過した時間(秒)は同じになります。

そして、設問では「OPが最短になるとき」と言っているので、つまりはOPと
ABが垂直になるときのAPの長さを求める。という方向性になるんだな~
みたいに発想してもらえるとすばらしいと思います。


ここまで「なるほど。その通りだ!」と納得できましたか?
今ひとつモヤモヤしてる人は、★1★の最初からもう一度読んでみてください。


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                 ★2★
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立体図形のときも、計算するのに必要な平面を取り出すと、平面図形の問題と
同じ解き方で解けるようになります。

この問題の場合は、線分OPとかABとかを使うので、これらの線分が含まれて
いる図形を取り出すようにしてみましょう。

どこに着目すればいいか気がつきましたか?
OPとABが入っている図形です。

・・・△ABCです。

△ABCならば、ABもOPも入ってますね。
ってことで、△ABCを取り出し、点OからABに垂線を引き、その足をPと
します。さらに、ここに問題の設定から分かる長さなどを書き込んでいきます。

ABが6cm,BCが4cm。
まずはこれらは問題文に書いてあるので、当然書き込みます。
しかし、これだけではまだまだわかりません。

他にも図形の性質からわかることをどんどん書いていきましょう!
例えば、OはBCの中点なのでBO=CO=2cmとか、△ABCは二等辺三角形
なのでAO⊥BCとか・・・


ここまで「なるほど。その通りだ!」と納得できましたか?
今ひとつモヤモヤしてる人は、★2★の最初からもう一度読んでみてください。


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                 ★3★
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△ABCにいろいろ書き込みましたね?
特に計算をしなくても分かることはだいたいこれくらいでしょう。
あとはもう少し難しい(?)性質を利用して求めていく必要があるわけです。

直角三角形の中にさらに直角三角形があるような図形です。
そんなときは・・・互いに相似になるのでしたね?
なるのです。

△ABO、△AOP、△OBP
いずれも直角があるということは、まず一つの角は等しい事は明らかで、残りも
共通な角があったりするので、「2組の角がそれぞれ等しい」という相似条件を
満たします。つまり、これらの3つの三角形は互いに相似になります。

相似な三角形は対応する辺の比が等しくなります。

ってことは、APを使って比の式を作れば、方程式になって解けるな~
みたいな見当をつけることができるはずです。


ここまで「なるほど。その通りだ!」と納得できましたか?
今ひとつモヤモヤしてる人は、★3★の最初からもう一度読んでみてください。

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                 ★4★
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実際にやってみましょう。

AP:AO=AO:AB

例えばこんな式ができますね。
しかし、この式には値がわからないものが2つもあります。APとAOです。
APは最終目標なのでおいておくとして、AOが分からないと困りますね。
それなら求めてしまいましょう。

AOは直角三角形の一辺なので、三平方の定理で求めることができそうです。

AO^2+BO^2=AB^2
 AO^2+2^2=6^2
    AO^2=36-4
    AO^2=32
     AO=√32=4√2

これを先ほどの比の式に代入してみます。

AP:4√2=4√2:6
   6AP=4√2×4√2
   6AP=16×2
    AP=32/6
    AP=16/3

これはつまり、OPとABが垂直のときのAPの長さです。
1秒1cmなので、求める時間は・・・16/3秒


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                ★まとめ★
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  1秒1cmだから、長さと時間は同じだね

→ 最短なのは垂直のときなんだって

→ 立体のままじゃわかりにくいから、平面を取り出してみよう

→ 二等辺三角形とか直角三角形の性質を使って・・・

→ 相似とか三平方の定理が使えちゃうね

→ 対応する辺の比は等しいから、方程式が作れる!

→ あとは解くだけだね。一応答え方と単位に注意!

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        発行者:AE個別学習室/プロ家庭教師の江間淳
              http://www.a-ema.com/
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