2009/05/12
茨城県立高校入試過去問解説 vol.12 平成21年数学[5](2)
□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ ◇◆ 県立高校入試過去問 ◆◇ vol.12 ≪平成21年 数学[5](2)≫ 2009/5/12配信 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 問題 → 標準時間 → ★１★ → ★２★ → ★３★ → ★４★ → ★まとめ★ このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。 各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 平成２１年 数学 ［５］下の図１のように、４点Ａ(４，０)，Ｂ(４，３)，Ｃ(０，３)，Ｄ(１，１) がある。点Ｐは原点Ｏを出発し、線分ＯＡ，ＡＢ上を秒速１ｃｍで点Ｂまで動く。 点Ｃと点Ｐはゴムひもで結ばれていて、ゴムひもは常にぴんと張られた状態に なっている。また、点Ｄにはクギが出ていて、ゴムひもはクギにふれた後、図２ のように、点ＣとＤ，点ＤとＰの間にぴんと張られた状態になる。 このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。ただし、ゴムひもやクギの大き さは考えない。Ｏは原点、座標の目盛りの単位はｃｍとする。 (1) ゴムひもが点Ｄのクギに初めてふれるのは、点Ｐが原点Ｏを出発してから 何秒後か求めなさい。 （「図１ クギにふれる前」として、点Ｐが(１，０)の少し手前にあり、ＣＰが 一直線になっているとき、「図２ クギにふれた後」として、点Ｐが(３，０)の 少し手前にあり、ＣＰは一直線でなく、点Ｄで折れたような図になっている。) −−−−−−−−−−−−−− ここから −−−−−−−−−−−−−− (2) 点Ｐが点Ｏを出発してからｔ秒後までに、ゴムひもが動いた跡にできる図形の 面積をＳｃｍ^2とする。点Ｐが線分ＡＢ上にあるとき、Ｓをｔの式で表しなさい。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 「ここから」から下が今回の問題です。 まずはノーヒントで解いてみましょう。 制限時間は５分！((1)からやる場合は合計８分) ノートと筆記用具を用意して、ケータイなどでタイマーを５分にセット！ 準備は良いですか？ ・・・スタート！！ タイマーが鳴ったら終了！ 解けても解けなくても終了です。 お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう！ > ---------------------------------------------------------------------- > その前に(^^;発行者のえまよりお知らせです > > 江間塾は「ＡＥ個別学習室」と改称し、水戸駅から徒歩圏内に教室を開設する > こととなりました。家庭教師の生徒さんも引き続き募集中です。 > 詳しくは http://www.a-ema.com/ などをご覧ください。 > > ---------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------ ★１★ ------------------------------------------------------------------------ まず一つ前置きです。 見直しなどで、今回のように問題の途中から取り組む場合も、問題文は最初から 読んだ方がよいです。 (2)の文章だけしか読まないと、条件の理解が今ひとつで、ぼんやりしたまま問題 に取り組むことになってしまうはずです。 さて、今回の問題の内容に入ってみましょう。 今回は、普通の三角形や四角形ではない図形の面積を求めなければいけません。 当然、普通の面積の公式はこのままでは使えません。 そんなときは、普通の公式が使えるようにすればＯＫです。 つまり・・・ ●与えられた図形を分割する。 →分割した図形の面積を後から合計する。 ●与えられた図形を含む大きい図形を自分で作る。 →大きい図形の面積から余計な部分の面積を引く。 これらのどちらかをやってみればよいわけです。 たいていどちらでもできますが、分割する方は計算の手間が少なく、大きい図形 を作る方は考える手間が少ない場合が多いです。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★１★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★２★ ------------------------------------------------------------------------ 今回は分割する方でいってみましょう。 点Ｐが線分ＡＢ上にあるときの図形は、点Ｄが凹んでる四角形になっています。 これは、点Ｐが点Ａと重なっているときの図形に三角形を足した形になっている と考えることができます。 つまり、求める図形は、ＯＡＤＣとＡＰＤに分割できる。ということができます。 そして、ＯＡＤＣはまだ凹んでるので、これもさらに分割します。 ＯとＤを使った一辺が１cmの正方形、その正方形の上側の三角形、その正方形の 右側の三角形の３つに分けると簡単だと思います。 一辺が１の正方形の面積は、１×１＝１ 上側の三角形の面積は、１×２÷２＝１ 右側の三角形の面積は、３×１÷２＝３／２ まずはこうなりますね。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★２★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★３★ ------------------------------------------------------------------------ 残りの三角形ＡＰＤがちょっとやっかいです。 底辺をＡＰとするのが一番簡単なはずですが、それでも底辺はｔの値によって 変化します。さらに、点ＰはＯからＡを通ってきてるので、△ＡＰＤの底辺は、 移動時間のｔとは一致しません。 ・・・でも大丈夫！？ まず、点ＰがＡのところまで来るのに何秒かかるのか考えます。 みなさんすぐわかりますね。 そう。４秒です。 このときは△ＡＰＤの底辺はゼロですね。まだ三角形になっていません。 では、５秒後では同じ底辺の長さはどうなるでしょうか？ これも簡単です。 １cmですね。 ６秒後はどうでしょうか？ ２cmですね。 ・・・それでは、ｔ秒後なら？ 底辺の長さは時間から４を引いたものになっているようなので・・・ (ｔ−４)cm ですね。これで底辺はわかりました。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★３★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★４★ ------------------------------------------------------------------------ △ＡＰＤの高さはＤからＡＰに下ろした垂線なので、３cmです。 よって、△ＡＰＤ＝(ｔ−４)×３÷２ ＝３(ｔ−４)／２ これで各部分の面積は全てわかったので、合計してみましょう。 Ｓ＝１＋１＋３／２＋３(ｔ−４)／２ ＝７／２＋(３／２)ｔ−６ ＝(３／２)ｔ−５／２ これでＳがわかりました。めでたしめでたし。 ------------------------------------------------------------------------ ★まとめ★ ------------------------------------------------------------------------ 変な形だな〜 → 分割してみよう → とりあえず、三角形と四角形にして・・・ → ひとつひとつ面積を求めてみる → 全部合計すればＯＫ！ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ------------------------------------------------------------------------ 発行者：ＡＥ個別学習室／プロ家庭教師の江間淳 http://www.a-ema.com/ ------------------------------------------------------------------------ 無断転載・引用を禁じます。
