2009/04/13
茨城県立高校入試過去問解説 vol.9 平成21年数学[4](1)
□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ ◇◆ 県立高校入試過去問 ◆◇ vol.9 ≪平成21年 数学[4](1)≫ 2009/4/13配信 毎週月曜日発行 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 問題 → 標準時間 → ★１★ → ★２★ → ★３★ → ★４★ → ★まとめ★ このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。 各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 平成２１年 数学 ［４］下の図において、曲線アは関数 ｙ＝ｘ^2 のグラフであり、曲線イは関数 ｙ＝ａｘ^2 のグラフである。曲線ア上の点でｙ座標が９である点のうち、ｘ座標 が正である点をＡ，負である点をＢとする。さらに、曲線イ上の点で、ｘ座標が 点Ａ，Ｂと同じ点をそれぞれＣ，Ｄとし、直線ＣＤと曲線アの交点のうち、ｘ 座標が正である点をＥとする。 このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。ただし、０＜ａ＜１で、Ｏは 原点とする。 (1) ａ＝４／９のとき、点Ｅの座標を求めなさい。 （下に座標平面があり、曲線アとイ、点Ａ〜Ｅ、四角形ＡＢＣＤが描かれている） ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 基本的な関数の問題です。 まずはノーヒントで解いてみましょう。 制限時間は２分！ ノートと筆記用具を用意して、ケータイなどでタイマーを２分にセット！ 準備は良いですか？ ・・・スタート！！ タイマーが鳴ったら終了！ 解けても解けなくても終了です。 お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう！ > ---------------------------------------------------------------------- > その前に(^^;発行者のえまよりお知らせです > > 江間塾は「ＡＥ個別学習室」と改称し、水戸駅から徒歩圏内に教室を開設する > こととなりました。家庭教師の生徒さんも引き続き募集中です。 > 詳しくは http://www.a-ema.com/ などをご覧ください。 > > ---------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------ ★１★ ------------------------------------------------------------------------ 関数の問題は、まずは次のようなことを心がけると良いです。 ●問題を最初から最後まで良く読む。 ●はじめからわかっているグラフやなどは全て描く。 ●その他問題の条件からわかっているものは全て書く。 これらが全てできたら、次はこんなことを ●問題の条件から求めることができる関数の式や点の座標は全て求める。 ●新たにわかったことも全てグラフに書き込む。 一度にたくさんの事をする必要はありません。 とりあえず、これらのことを気をつけるだけで、相当できるようになるはずです。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★１★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★２★ ------------------------------------------------------------------------ それでは、実際に条件を確認してみましょう。 まずは、「曲線アはｙ＝ｘ^2 のグラフ」とあります。だから、曲線アのところに 「ｙ＝ｘ^2」と書いてみます。 次に、「曲線イはｙ＝ａｘ^2 のグラフ」とあります。だから、曲線イのところに 「ｙ＝ａｘ^2」と書いてみます。 同様に、ＡとＢのｙ座標は９ということも書いてあります。 これらはそのままグラフに書き込むことができますね。 さぁ、これで準備ＯＫ！ ・・・なんて、これだけでこの問題の意味がわかった気になっていませんか？ これだけしか条件がなかったら、この問題は解くことができません。 問題の文章の後半にも重要なことが書いてあります。 Ｃ，Ｄについてです。 「曲線イ上の点で、ｘ座標が点Ａ，Ｂと同じ点をそれぞれＣ，Ｄとし」 こんなことが書いてあります。さらに、 「直線ＣＤと曲線アの交点のうち、ｘ座標が正である点をＥとする」 こんなことも書いてあります。 まずはこれらの条件を自分なりにわかるように書き出したり、目立つようにしたり 工夫すると良いです。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★２★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★３★ ------------------------------------------------------------------------ 関数でやるべき事のうちの一つが「求められるものは全てもとめる」である。 と先ほど書きました。 この問題では、座標がいろいろ出そうなので、まずは求めてみましょう。 点Ａはｙ座標が９なので、点Ａを通っているグラフの式にｙ＝９を代入します。 ９＝ｘ^2 ｘ^2＝９ ｘ＝±３ よって、Ａの座標は（±３，９）・・・ではありません（笑） ｙ座標が９の点はもう一つありましたね。 点Ｂです。 つまり、プラスの方（３，９）がＡで、マイナスの方（−３，９）がＢです。 これで座標が二つも出てしまいました。 次に「曲線イ上の点で、ｘ座標が点Ａ，Ｂと同じ点をそれぞれＣ，Ｄとし」と あったので、Ａのｘ座標とＣのｘ座標は同じ。つまり、３です。 ＢとＤも同様に、ｘ座標は−３です。 ＣとＤは曲線イ上にあるので、曲線イの式に代入してみます。 とりあえず、Ｃのｘ座標を入れてみましょう。 ｙ＝ａｘ^2 ｙ＝ａ・３^2 ＝ａ・９ ＝９ａ (1)の場合は、ａ＝４／９なので、これをａに代入します。 ｙ＝９・(４／９) ＝４ 問題文の条件から、Ｄのｙ座標も、Ｅのｙ座標も同じく４のはずです。 ・・・よね？ ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★３★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★４★ ------------------------------------------------------------------------ 関数は、座標を代入。という作業を繰り返していけば、大抵できます。 先ほどわかった、求める点Ｅのｙ座標は４です。 そして、点Ｅは曲線ア ｙ＝ｘ^2 の上にあります。 それならば、曲線アの式に代入すればＯＫ！ ４＝ｘ^2 ｘ^2＝４ ｘ＝±２ Ｅはｘ座標が正なので、 ｘ＝２ よって、Ｅ（２，４） ------------------------------------------------------------------------ ★まとめ★ ------------------------------------------------------------------------ 関数の問題だね → まずは最初に条件を書き込んで → とにかく、いろんなところに代入して、値を求めればなんとかなる！ → ＡとＢがわかって → ＣとＤがわかったら → Ｅもわかる ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ------------------------------------------------------------------------ 発行者：ＡＥ個別学習室／プロ家庭教師の江間淳 http://www.a-ema.com/ ------------------------------------------------------------------------ 無断転載・引用を禁じます。
