2009/03/30
茨城県立高校入試過去問解説 vol.7 平成21年数学[3](2)
□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ ◇◆ 県立高校入試過去問 ◆◇ vol.7 ≪平成21年 数学≫ 2009/3/30配信 毎週月曜日発行 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 問題 → 標準時間 → ★１★ → ★２★ → ★３★ → ★４★ → ★まとめ★ このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。 各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 平成２１年 数学 ［３］(2) 下の図のような円Ｏにおいて、点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅは円周上の点で あり、ＡＥ//ＢＤ、ＡＣは円Ｏの直径である。このとき、∠ＢＡＣの大きさを 求めなさい。 （円Ｏの周上の左上に点Ａ、Ａから引いた直径の反対側がＣで、ＡとＣの間にＢ、 Ｂから真横に線分ＢＤがあり、このＢＤと平行になるようにＡＥがひいてあり、 ∠ＥＢＤ＝２５°である。） ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 標準的な円の問題です。。 まずはノーヒントで解いてみましょう。 制限時間は３分！ ノートと筆記用具を用意して、ケータイなどでタイマーを３分にセット！ 準備は良いですか？ ・・・スタート！！ タイマーが鳴ったら終了！ 解けても解けなくても終了です。 お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう！ > ---------------------------------------------------------------------- > その前に(^^;発行者のえまよりお知らせです > > 「江間塾」および「プロ家庭教師のえま」は現在生徒募集をしています。 > 中学受験〜大学受験、英検・数検対策など。模擬試験も随時実施しています。 > 詳しくは http://www.a-ema.com/k/sitemap.htm などをご覧ください。 > > ---------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------ ★１★ ------------------------------------------------------------------------ 図形の問題では、まずは図形を見ながら、説明の文章を良く読んでください。 「何を当たり前のことを！？」って思う人も多いでしょうが、読んでるつもりでも 実はきちんと読んでいなくて、適当に見た目で勝手に角度や長さを決めてしまって 必然的に間違ってしまう人がたくさんいます。 まずは図形の問題では、文章の説明を図の中に書き込みながら読んでいくのが 大切です。 まずは図の中に、ＡＥ//ＢＤを表すように記号を書き込みます。 直接書いてある条件はこれだけですが、与えられた条件や図形の性質からわかる ことがあるときは、それもわかる限りどんどん図の中に書いていきます。 直接問題では使わない場合もありますが、どの性質を使うか事前にわからない 場合も多いので、わかる限り何でも書いておくのが良いです。 まずは、とにかくできるかぎり書いておいてください。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★１★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★２★ ------------------------------------------------------------------------ 例えば、ＡＥ//ＢＤなので、錯角や同位角は等しいですね。 つまり、∠ＡＥＢ＝∠ＤＢＥなど、いくつかの角が等しいことがわかります。 他には、ＡＣは直径なので、ＡＯ＝ＣＯも言えます。 これはＡＯもＣＯも同じ円の半径だからです。 また、対頂角は等しいですね。 とりあえず、特に補助線等を引かない範囲では、この図でわかることはだいたい こんなところでしょう。 いくつか条件を図の中に書いたところで、何を求めたいのか考えてみると良い ずです。 この問題では何を求めるのでしょうか？ ∠ＢＡＣの大きさでしたね。 これを求めるためには、何が必要でしょうか？ 例えば、∠ＢＡＣの対頂角がわかればよい。 ∠ＢＡＣの錯角、同位角などがわかればよい。 ∠ＢＡＣを含む三角形を考えて、他の角がわかればよい。 などの方策が考えられます。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★２★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★３★ ------------------------------------------------------------------------ 先ほど問題の図に書いた条件だけでは、情報が不足しているように見えます。 そんなときは、補助線を引くことを考えなければいけません。 補助線は・・・ ある点と点を結ぶ。 平行線ができるように引く。 垂直になるように引く。 二等分線ができるように引く。 基本的にはこんなことを考えればよいです。 この場合は、ＢとＯを結んでみます。すると、二等辺三角形ができます。 先ほど軽く触れたように、二つの辺が半径なので、△ＡＯＢは必然的に二等辺 三角形になってしまうわけです。 二等辺三角形は底角が等しいですね。 んで、その二つの底角のうち一つが求める角の∠ＢＡＣです。 それならば、どれか一つの角がわかれば、求める角がわかることになります。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★３★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★４★ ------------------------------------------------------------------------ ここで、円周角の定理を活用します。 まずは、最初に書いた条件の一つに、平行線の錯角が等しい。というのがあり ましたね。これによって、∠ＡＥＢ＝∠ＤＢＥ＝２５°ということがわかります。 そして、∠ＡＥＢと∠ＡＯＢを比べてみると・・・ 同じ弧に対する円周角と中心角になっていることがわかるはずです。 円周角は中心角の２倍の大きさになります。 ってことで、∠ＡＯＢ＝∠ＡＥＢ×２＝５０°ですね。 △ＡＯＢは二等辺三角形なので、残りの二つの角は等しいはずです。 んで、残り二つの角の合計は１８０°−５０°＝１３０° これを二等分なので、∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝１３０°÷２＝６５° つまり、求める角の、∠ＢＡＣ＝６５° ------------------------------------------------------------------------ ★まとめ★ ------------------------------------------------------------------------ 円の角度の問題だね → とりあえず、条件や性質をわかるだけ書いてみよう → なんだかそれだけじゃ解けないっぽいね → そんなときは補助線 → いろいろ試行錯誤したけど、半径を使うと二等辺になるみたい → あれがわかるとこれもわかって・・・何とかできた！！ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ------------------------------------------------------------------------ 発行者：江間塾／プロ家庭教師の江間淳 http://www.a-ema.com/ ------------------------------------------------------------------------ 無断転載・引用を禁じます。
