2009/04/10
センター数学 vol.9 ≪2009年 数IA 第３問後半≫
□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆
◇◆ センター過去問解説 ◆◇ vol.9 ≪2009年 数IA 第３問後半≫
2009/4/10配信
毎週金曜日発行
◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■
問題 → 標準時間 → ★１★ → ★２★ → ★３★ → ★４★ → ★まとめ★
このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。
各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
第３問
△ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝１，ＢＣ＝√７，ＡＣ＝２とし、∠ＣＡＢの
二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとする。
このとき、∠ＣＡＢ＝[アイウ]°であり
ＢＤ＝√[エ]／[オ]，ＣＤ＝([カ]√[キ])／[ク]
である。
参考図
(円が描いてあり、その周上の左上側に上からＡ，Ｂ、右上側にＣがあり、
それぞれ線分で結んで、△ＡＢＣにしてある)
−−−−−−−−−−−−−− ここから −−−−−−−−−−−−−−
ＡＤの延長と△ＡＢＣの外接円Ｏとの交点のうちＡと異なる方をＥとする。
このとき、∠ＤＡＢと等しい角は、次の{0}〜{4}のうち[ケ]と[コ]である。
ただし、[ケ]と[コ]の解答の順序は問わない。
{0}∠ＤＢＥ {1}∠ＡＢＤ {2}∠ＤＥＣ {3}∠ＣＤＥ {4}∠ＢＥＣ
これより、ＢＥ＝√[サ]である。また、ＤＥ＝[シ]／[ス]である。
次に、△ＢＥＤの外接円の中心をＯ’とすると
Ｏ’Ｂ＝[セ]√[ソ]／[タ]
であり
ｔａｎ∠ＥＢＯ’＝√[チ]／[ツ]
である。
(解答部分の□は[ ]で、○は{ }で表しています)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
「ここから」から下が今回の問題です。その前は前回の解答を使って構いません。
まずはノーヒントで解いてみましょう。
制限時間は８分！（最初からやる場合は合計１０分）
ノートと筆記用具を用意して、ケータイのタイマー機能を８分にセット！
準備は良いですか？
・・・スタート！！
タイマーが鳴ったら終了！
解けても解けなくても終了です。
お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう！
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
> ----------------------------------------------------------------------
> 発行者のえまよりお知らせです
>
> 江間塾は「ＡＥ個別学習室」と改称し、水戸駅から徒歩圏内に教室を開設する
> こととなりました。家庭教師の生徒さんも引き続き募集中です。
> 詳しくは http://www.a-ema.com/ などをご覧ください。
>
> ----------------------------------------------------------------------
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
------------------------------------------------------------------------
★１★
------------------------------------------------------------------------
このような図形の問題では、まず最初に、問題文に書いてある条件を全て図の
中に書いてください。
そうすることで、一見してわからないように思えたことも、案外簡単にわかる
ことも多々あります。
まずは、辺ＡＢに長さが１、辺ＢＣに長さが√７、辺ＡＣに長さが２を書きます。
そして、∠ＣＡＢの二等分線を引いて、辺ＢＣと交わった点をＤと書きます。
そして、前回の問題でわかったこと、つまり、∠ＣＡＢ＝１２０°と、ＢＤ，
ＣＤの長さも書き込んでください。
すると、他にもいくつかわかることが出てきますね。
例えば、線分ＡＥは∠ＣＡＢの二等分線なので、線分ＡＥによって分けられた
二つの角はともに６０°です。
そして、円周上に頂点のある角がたくさんあるので、中学で習った「円周角の
定理」を使えば、さらに多くのことがわかりそうです。
ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？
今ひとつモヤモヤしてる人は、★１★の最初からもう一度読んでみてください。
------------------------------------------------------------------------
★２★
------------------------------------------------------------------------
ここで、問題の選択肢をもう一度確認してみましょう。
{0}∠ＤＢＥ {1}∠ＡＢＤ {2}∠ＤＥＣ {3}∠ＣＤＥ {4}∠ＢＥＣ
これらの中から、∠ＤＡＢと等しい角を二つ選ぶわけですね。
{0}は、まずＢとＥを結んでみます。
すると、高校入試の問題でもよく見る形になりました。
円周角の定理により、∠ＣＡＥ＝∠ＤＢＥ＝６０°となります。∠ＤＡＢも６０°
なので、等しいですね。いきなり正解です。
{1}は、ぱっと見では同じくらいに見えますが、∠ＣＡＢが１２０°なので、６０°
以上になることはありません。よって不適切。
{2}は、まずＥとＣを結んでみます。
これも一見して同じくらいに見えるかも知れませんが、違います。
四角形ＡＢＥＣは円に内接する四角形になっていて、円に内接する四角形の対角の
和は１８０だからです。∠ＢＥＣが６０°なので、∠ＤＥＣはそれより小さいはず
です。
{3}は、これもだいたい同じくらいに見えるかも知れませんが、違います。
イメージとしては、△ＢＣＥが正三角形だから、その一部を切り取った形になった
ら、その角は６０°になるはずがない。などと思ってもらえれば特に問題ないと
思います。
（三角形の外角の性質から{3}は６０°ではないことが証明できます）
となると、残りの{4}は正しくなければいけません。が、本当にそうでしょうか？
確認してみましょう。
先ほども触れたように、円に内接する四角形の対角の和は１８０°です。
対角の∠ＣＡＢが１２０°なので、∠ＢＥＣは６０°になります。
よって、ケとコには{0}と{4}が入ります。
ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？
今ひとつモヤモヤしてる人は、★２★の最初からもう一度読んでみてください。
------------------------------------------------------------------------
★３★
------------------------------------------------------------------------
先ほどわかったことも、どんどん図の中に描いて書いてください。
すると・・・「あ、△ＢＥＣは正三角形だな〜」
なんてことにも気づくはずです。
ってことは、ＢＣ＝ＢＥ＝ＣＥ＝√７
ＢＤもＣＤもわかっているので、ＤＥの長さも余弦定理で出せそうです。
・・・よね？
３つの辺と角がどこか一つ。
合計４つの情報のうち、３つがわかっていれば、残り一つは出すことができます。
例えば、左側の三角形でやってみましょう。
ＤＥ^2＝ＢＤ^2＋ＢＥ^2−２ＢＤ・ＢＥ・ｃｏｓ∠ＤＢＥ
＝(√７／３)^2＋(√７)^2−２・(√７／３)(√７)ｃｏｓ６０°
＝７／９＋７−２・(７／３)(１／２)
＝７／９＋７−７／３
＝(７＋６３−２１)／９ ←通分した
＝４９／９
ＤＥ＝７／３
ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？
今ひとつモヤモヤしてる人は、★３★の最初からもう一度読んでみてください。
------------------------------------------------------------------------
★４★
------------------------------------------------------------------------
次はいよいよ△ＢＥＤの外接円Ｏ’についてですね。
三角形の外接円について考える場合は、基本的には正弦定理を使います。
ａ／ｓｉｎＡ＝ｂ／ｓｉｎＢ＝ｃ／ｓｉｎＣ＝２Ｒ
でしたね。
Ｏ’Ｂは円Ｏ’の半径なので、Ｏ’Ｂ＝Ｒというわけです。
これに代入すれば、まずはＯ’Ｂが出てしまいます。やってみましょう。
(７／３)／ｓｉｎ６０°＝２Ｒ
(７／３)／(√３／２)＝２Ｒ
７／３＝２Ｒ・(√３／２)
７／３＝√３・Ｒ
√３・Ｒ＝７／３
Ｒ＝７／３√３
Ｒ＝(７√３)／９
残るはｔａｎ∠ＥＢＯ’です。
これはここまでの問題よりかなり難易度が高いように感じます。
円の性質と三角比の意味をよく理解していないと解けないと思います。
タンジェントは直角三角形の横が１のときの縦の長さを表しています。
ので、∠ＥＢＯ’を含む直角三角形の辺の長さがわかれば良いことになります。
例えば、Ｏ’からＢＥに垂線を引きます。
すると、その垂線の足はＢＥを二等分します。
ってことで、三平方の定理などで、必要な三角形の辺の長さが全て出るので、
タンジェントの値も出る。
という寸法になるわけです。
やってみると、解答は以下のようになります。
ｔａｎ∠ＥＢＯ’＝√３／９
------------------------------------------------------------------------
★まとめ★
------------------------------------------------------------------------
なんか三角比の問題っぽいね
→ 円周上に頂点がいっぱいあるので、まずは円周角の定理
→ わかったことは図の中にどんどん書いていく
→ 線がちょっと多くなるから、大きめに描き直してみようかなぁ
→ 余弦定理や正弦定理などを使えば何とかできそう・・・
→ できた〜！？
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
------------------------------------------------------------------------
発行者 江間淳(EMA Atsushi)
web site http://www.a-ema.com/k/
まぐまぐID 0000282508
登録・解除はこちらから http://www.a-ema.com/k/ica.htm
------------------------------------------------------------------------
無断転載・引用を禁じます。
