2009/04/03
センター数学 vol.8 ≪2009年 数IA 第３問前半≫
□--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ ◇◆ センター過去問解説 ◆◇ vol.8 ≪2009年 数IA 第３問前半≫ 2009/4/3配信 毎週金曜日発行 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 問題 → 標準時間 → ★１★ → ★２★ → ★３★ → ★まとめ★ このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。 各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 第３問 △ＡＢＣにおいて、ＡＢ＝１，ＢＣ＝√７，ＡＣ＝２とし、∠ＣＡＢの 二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとする。 このとき、∠ＣＡＢ＝[アイウ]°であり ＢＤ＝√[エ]／[オ]，ＣＤ＝([カ]√[キ])／[ク] である。 参考図 (円が描いてあり、その周上の左上側に上からＡ，Ｂ、右上側にＣがあり、 それぞれ線分で結んで、△ＡＢＣにしてある) (解答部分の□は[ ]で表しています) ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 三角比に関する標準的な問題ですね。 まずはノーヒントで解いてみましょう。 制限時間は３分！ ノートと筆記用具を用意して、ケータイのタイマー機能を３分にセット！ 準備は良いですか？ ・・・スタート！！ タイマーが鳴ったら終了！ 解けても解けなくても終了です。 お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう！ ------------------------------------------------------------------------ ★１★ ------------------------------------------------------------------------ このような図形の問題では、まず最初に、問題文に書いてある条件を全て図の 中に書いてください。 そうすることで、一見してわからないように思えたことも、案外簡単にわかる ことも多々あります。 まずは、辺ＡＢに長さが１、辺ＢＣに長さが√７、辺ＡＣに長さが２を書きます。 そして、∠ＣＡＢの二等分線を引いて、辺ＢＣと交わった点をＤと書きます。 この時点でとりあえず、問題文に書いてある情報は全て表示しました。 ここで、何ができるのか考えてみます。 三角形があって、その三辺の長さがわかっていて、外接円があって・・・ みたいなときは、 ●直角三角形や二等辺三角形はあるか？ ●平行線はあるか？ ●円周角の定理は使えるか？ などの中学程度の図形の性質が使えないか考えると良いです。 次に、 ●正弦定理、余弦定理は使えるか？ ●三角形の面積の公式は使えるか？ ●重心、内心、外心は使えるか？ などの数Ｉの三角比のことを使えるか考えるのがスムーズでしょう。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★１★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★２★ ------------------------------------------------------------------------ この場合は、外接円があるので、正弦定理・・・といきたいところですが、 ∠の大きさが一つもわかっていないので、余弦定理を使ってみます。 ａ^2＝ｂ^2＋ｃ^2−２ｂｃ・ｃｏｓＡ これが余弦定理の基本の式です。 左辺にはコサインで使う角の対辺がきます。 ここでは、∠ＣＡＢを求めるので、左辺にはその対辺、つまりＢＣがきます。 (√７)^2＝１^2＋２^2−２・１・２・ｃｏｓ∠ＣＡＢ ７＝１＋４−４ｃｏｓ∠ＣＡＢ ４ｃｏｓ∠ＣＡＢ＝５−７ ４ｃｏｓ∠ＣＡＢ＝−２ ｃｏｓ∠ＣＡＢ＝−１／２ ∴∠ＣＡＢ＝１２０° ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★２★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★３★ ------------------------------------------------------------------------ あとは、ＢＤとＣＤの長さですが、これは三角形の頂角の二等分線の性質を 知っていれば簡単な問題です。 ∠Ａの二等分線が底辺と交わる点をＤとするとき、 ＡＢ：ＡＣ＝ＢＤ：ＣＤ こんな性質がありましたね。・・・ね？（笑） 知っていなかったら、実際のところ本番の時間内で解くのは難しいと思います。 その時は勘で、ありそうな数字を入れてみるしかないでしょう。 上記の性質を使うと・・・ １：２＝ＢＤ：ＣＤ ですね。 つまり、ＤはＢＣを１：２に内分する点になります。 よって、ＢＤ＝√７／３，ＣＤ＝(２√７)／３ ------------------------------------------------------------------------ ★まとめ★ ------------------------------------------------------------------------ なんか三角比の問題っぽいね → 三辺がわかってるときは余弦定理 → 三角形の頂角の二等分線の性質も使いそう → ＤはＢＣを１：２に内分するんだね → できた〜！！ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ------------------------------------------------------------------------ > 発行者のえまよりお知らせです > > 「江間塾」および「プロ家庭教師のえま」は現在、生徒募集をしています。 > 中学受験〜大学受験、英検・数検対策など。模擬試験も随時実施中！ > 詳しくは http://www.a-ema.com/k/sitemap.htm などをご覧ください。 ------------------------------------------------------------------------ 発行者 江間淳(EMA Atsushi) web site http://www.a-ema.com/k/ まぐまぐID 0000282508 登録・解除はこちらから http://www.a-ema.com/k/ica.htm ------------------------------------------------------------------------ 無断転載・引用を禁じます。
