理系受験生のための基礎物理　　　　第48号 [まぐまぐ！]

2008/07/26

理系受験生のための基礎物理　　　　第48号

◆◆◆＝＝＝＝ Basic physics ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　　　　　　　　理系受験生のための基礎物理　　　　第48号

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　■　「ヤングの実験」について

以前に波の干渉で「強め合う条件」「弱め合う条件」を配信しま
したが，今回はこれを光波について考えたお話になります。
思い出してみましょう。

ＡとＢから波長 λ の波が同位相で送り出されているとき，
Ｐで「強め合う条件」は

　｜ＡＰ－ＢＰ｜＝ 2m・(λ/2)　　　(m＝0，1，2，・・・)

Ｐで「弱め合う条件」は

　｜ＡＰ－ＢＰ｜＝ (2m＋1)・(λ/2)　　(m＝0，1，2，・・・)

さらに今回は近似式が出てきますが，この近似式をどこで使うか
を覚えなくてはイケマセン。
使うところを間違えると，結果がとんでもない式になってしまい
ます。

では，ヤングの実験の概要から始めましょう。

図のように，間隔ｄの複スリット(ダブルスリット)Ａ，Ｂから
波長 λの光が同位相で出ていて，複スリットから距離Ｌはなれ
ている位置にスクリーンを置きます。
(ｄは非常に小さくてミリメートル単位ですが，Ｌはメートル単
位です)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(スクリーン)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　ｄ｜―――――――――――――――――――――――――――｜Ｏ
　Ｂ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　｜　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　　Ｌ　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　(フォントの設定がプロポーショナルだと図がくずれます)

ＡとＢから出た光が回折して広がって進み，スクリーン上には強め
合って明るくなる位置や弱め合って暗くなる位置ができます。
(実際にはスクリーン上に明暗の縞ができます)
この実験を「ヤングの実験」といいます。

スクリーン上の中央の点Ｏは，ＡとＢから同じ距離にありますので，
ＡとＢから同位相で出た光は，点Ｏに同時にたどり着き，光が強め
合って明るくなります。
では，点Ｏより少し上の点ｘ1 (1は小さい字の添え字)での干渉を
考えてみます。
(点Ｏとｘ1の距離はミリメートル単位です)

　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜ｘ1
　　　――――――｜Ｏ
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜

位置ｘ1 では，Ａからの距離よりＢからの距離が長いため，Ａと
Ｂから同時に出た光は，同時にはたどり着きません！
Ａから出た光のほうが早くたどり着き，Ｂからの光は少し遅れて
たどり着きます。
この距離の差が，ちょうど光の半波長(λ/2)だとすると，位置
ｘ1 にはＡとＢから半波長ずれた光がやってきます。
(一方からの光が「山」のとき他方からの光は「谷」になります)
このとき位置ｘ1 ではＡとＢからの光がつねに逆位相でたどり
着き，弱め合って暗くなります。

では位置ｘ1 よりさらに少し上の位置ｘ2 (2は添え字)での干渉
を考えてみます。

　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜ｘ2
　　　　　　　　　｜ｘ1
　　　――――――｜Ｏ
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜

位置ｘ2 ではＢからの距離がさらに長くなります。
ＡとＢから同時に出た光は，Ｂからの光がさらに遅れてたどり着き
ます。
このときＡからｘ2までの距離とＢからｘ2までの距離の差がちょ
うど1波長(λ)だと，位置ｘ2 にはＡとＢから1波長ずれた光がたど
り着き，つねに同位相になります。
(山どうし，谷どうし，山どうし，谷どうし・・・とたどり着きます)
したがって，位置ｘ2 ではＡとＢからの光が強め合って明るくなり
ます。

さらにｘ2 より少し上の位置ｘ3 (3は添え字)には

　　　　　　　　　｜ｘ3
　　　　　　　　　｜ｘ2
　　　　　　　　　｜ｘ1
　　　――――――｜Ｏ
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜

1波長半ずれた光がたどり着き，つねに逆位相になるため弱め合って
暗くなります。

このことは点Ｏから下のスクリーンでも対称的に同じことが起きま
すので，スクリーン上には，点Ｏを中心にして明暗の縞ができます。
では，この縞間隔を求めてみましょう。

いまスクリーン上で点Ｏから距離ｘの点Ｐでの干渉を考えてみます。
点Ｐで明るくなるときは(強め合う条件から)

　｜ＡＰ－ＢＰ｜＝ 2m・(λ/2)　　(m＝0，1，2，・・・) です。

またＡからスクリーンに下ろした垂線の足をＡ′とすると

　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜Ｐ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　Ａ―――――――――――――――｜Ａ′
　　　―――――――――――――――｜Ｏ
　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　Ｌ　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜

Ａ′Ｏの距離はｄ/2 ですから，ＰＡ′の距離はｘ－ (ｄ/2) です。
したがって，三角形ＡＡ′Ｐで，三平方の定理より

　　ＡＰ＝ √(Ｌ＾2 ＋ (ｘ－(ｄ/2))＾2)　　　　　・・・・・(*)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　となります。

ここで，次の近似式を使います。

　α(アルファ)が0に近いとき，　(1＋α)＾ｎ ≒ 1 ＋ｎα　です。
　ｎは小数でも分数でも負の数でもかまいません。
　またαも 0 に近い数であれば負の数でもかまいません。

この近似式は物理ではときどき登場しますので覚えておきましょう。
(何故このような近似になるのかは，学校や予備校の先生に聞いて下
さい)

では，この近似式が使えるように(*)式を変形してみます。
Ｌを根号の外に出して，根号を指数1/2にします。

　　ＡＰ＝Ｌ［ 1 ＋｛(ｘ－(ｄ/2))/Ｌ｝＾2 ］＾（1/2）

(テキスト形式なのでわかりにくい表現になっていますが，自分で本来
の数学的表現で書いてみて下さい)

ヤングの実験では，ｄやｘはＬに比べて非常に小さいので，この
式の｛　　｝内の分数は非常に小さな値です。
それを2乗しているので，さらに小さくなっています。
この部分を，近似式のαに対応させて近似しますと

　　ＡＰ ≒ Ｌ［ 1 ＋ (1/2)・｛(ｘ－(ｄ/2))/Ｌ｝＾2 ］

　　　　＝Ｌ＋｛(ｘ－(ｄ/2))＾2)｝/(2Ｌ)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　となります。

同様にして，ＢＰの距離も

　　ＢＰ＝Ｌ＋｛(ｘ＋(ｄ/2))＾2)｝/(2Ｌ)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　となります。

図では，ＡＰ＜ＢＰですから，距離の差は

　　ＢＰ－ＡＰ＝ (ｘｄ)/Ｌ　　です。

(ここまでの計算は，みなさんが実際にやってみて下さい。
このメルマガを見ているだけでは覚えません。
自分の手で何度も計算してみることが大事です。
楽をしていてはいつまでたってもできるようにはなりませんよ)

したがって，Ｐで強め合う(明るくなる)条件式は

　　(ｘｄ)/Ｌ＝ 2m・(λ/2)　　　　(m＝0，1，2，・・・・)

　　　　　　　　　　　　　　　　と表せます。

同様に，Ｐで弱め合う(暗くなる)条件式は

　　(ｘｄ)/Ｌ＝ (2m＋1)・(λ/2)　　(m＝0，1，2，・・・・)

　　　　　　　　　　　　　　　　　です。

強め合う(明るくなる)条件式を変形して，ｘについて解くと

　　　　　ｘ＝ (mλＬ)/ｄ　　　となりますが，

この式の意味することは・・・

1波長ずれて強め合う(明るくなる)位置ｘ1 は，m＝1 を代入
して

　　　　　ｘ1 ＝ (λＬ)/ｄ

2波長ずれて強め合う(明るくなる)位置ｘ2 は，m＝2 を代入
して

　　　　　ｘ2 ＝ (2λＬ)/ｄ

3波長ずれて強め合う(明るくなる)位置ｘ3 は，m＝3 を代入
して

　　　　　ｘ3 ＝ (3λＬ)/ｄ

つまり，m＝1，2，3，・・・を代入した値のｘは，点Ｏから
明線までの距離を表しますから，明線間隔(明線から隣りの明線
までの距離)は

　ｘ2 －ｘ1　　とか　　ｘ3 －ｘ2　　　として求められます。

一般的に，(m＋1)波長ずれて強め合う距離からm波長ずれて強め
合う距離を引けば明線間隔になり，

　((m＋1)λＬ)/ｄ　－　(mλＬ)/ｄ　＝　(λＬ)/ｄ　　です。

この結果からわかるように，明線間隔はmの値に関係なく一定値
になり，明線は等間隔で並んでいることになります。
もちろん，明線と明線の間の暗線も等間隔で並んでいます。

テキスト形式では図を描けないのが残念です。
ヤングの実験は入試でもわりとよく出題されるところですから，
縞間隔の値を自分で導けるようにしておきましょう。
　　　　　　　　
今回はここまでです。

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