理系受験生のための基礎物理　　　　第47号 [まぐまぐ！]

2008/07/25

理系受験生のための基礎物理　　　　第47号

◆◆◆＝＝＝＝ Basic physics ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　　　　　　　　理系受験生のための基礎物理　　　　第47号

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　■　「レンズ」について

前回は光の屈折についてお話しましたが，光の屈折を応用したのが
レンズです。
レンズは，みなさんがよく知っているように凸レンズと凹レンズが
あります。
基本的に，凸レンズは光を集め，凹レンズは光を広げるはたらきを
します。

みなさんの中には，近視でメガネをされている方もいると思いますが，
近視用のレンズは凹レンズです。

レンズの中心を通り，レンズに垂直な軸を「光軸」といいます。

　　　　　　　　　　｜(レンズ)
　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　｜
　　――――――――――――――　(光軸)
　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　｜

また凸レンズでは，光軸に平行な光線はレンズを通過した後，光軸
上の一点に集まります。
この点をレンズの「焦点」といいます。
(笑点ではありません)
太陽光を凸レンズに通して紙の上に焦点がくるようにすると，紙が
焦げるので焦点といいます。
凹レンズの場合は，焦点から光が出たように進みます。

図のように物体ＡＢを凸レンズからａの距離(ａは焦点距離より
大きい距離)にに置くと，ＡＢから出た光がレンズを通過して，レン
ズの反対側のスクリーンに像Ａ′Ｂ′がつくられます。

　　　　Ａ―――― ａ――――｜(凸レンズ)　　　　　　　(スクリーン)
　　　　｜　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　｜　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　｜　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　｜
――――――――Ｆ――――――――――――――――――――――
　　　　Ｂ　　(焦点)　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　｜Ｂ′
　　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　　Ａ′
　　　　　　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　(像)

　　(フォントの設定がプロポーショナルだと図がくずれます)

このように，実際にスクリーン上に映しだされる像を「実像」と
いいます。
また，このときの像は物体と上下が逆になります。
このような関係の像を「倒立像」といいます。

物体を凸レンズから焦点距離より内側の位置に置くと，凸レンズを
通った光線は交わることがなく，凸レンズの右側に像はできません。
このとき，凸レンズの右側から見ると，いかにも大きな物体が見え
ます。

　　　　Ａ′
　　　　｜(像)
　　　　｜
　　　　｜
　　　　｜　　　　　　　　Ａ―― ａ――｜(凸レンズ)
　　　　｜　　　　　　　　｜　　　　　｜　
　　　　｜　　　　　　　　｜　　　　　｜
　　　　｜　　　　　　　　｜　　　　　｜
　――――――――Ｆ―――――――――――――――――
　　　　Ｂ′　　(焦点)　　Ｂ　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜　　　　（目）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　｜

この場合，像の位置にスクリーンを置いてもスクリーン上に像は
できません。
レンズの右側から見ると，像の位置に物体があるように見える，
みかけの像になります。
このような像を「虚像」といいます。
これがムシメガネやルーペで大きく見える理由です。
(凹レンズの場合は物体の位置が焦点の外側でも内側でも必ず
虚像です)
また，このとき物体と像の上下は変わりません。
このような関係の像を「正立像」といいます。
(演歌歌手は吉幾三)

では，次にレンズの公式を考えてみましょう。
(話をカンタンにするため，凸レンズで実像ができる場合を考えます)

　　　　　　　　　　　　　Ｐ
　　　Ａ―――― ａ――――｜―――――― ｂ ――――――
　　　｜　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　｜　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　｜　　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　｜
――――――――――――――――――――Ｆ―――――――――
　　　Ｂ　　　　　　　　Ｏ｜　　　　　(焦点)　　　　　　｜Ｂ′
　　(物体)　　　　　　　　｜　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　｜――ｆ―――　　　　　　　　　Ａ′
　　　　　　　　　　　　(レンズ)　　　　　　　　　　　　(像)
　　　　　　

レンズから物体までの距離をａ
レンズから像までの距離を　ｂ
レンズの焦点距離を　　　　ｆ　　　　とします。

このとき，　△ＡＢＯ ∽ △Ａ′Ｂ′Ｏですから
辺の比は
　　　　　　ＡＢ：Ａ′Ｂ′＝ａ：ｂ　　・・・・・・・(*)

また，△ＰＯＦ ∽ △Ａ′Ｂ′Ｆ　ですから
辺の比は
　　　　　　ＰＯ：Ａ′Ｂ′＝ｆ：( ｂ－ｆ)　　・・・・(**)

ここでＡＢとＰＯは同じ長さですから，(*)式と(**)式の左辺は同じ
です。
したがって右辺も同じになりますから

　　　　　　　ａ : ｂ＝ｆ：( ｂ－ｆ)　　　より

内項の積と外項の積が等しいことから

　　　　　　　　　ｂｆ＝ａｂ－ａｆ　　　となります。

この式の両辺をａｂｆで割ると

　　　　　　　　1/ａ　＝　1/ｆ　－　1/ｂ　　となり，

右辺の　－1/ｂを左辺に移項すると

　　　　　　1/ａ　＋　1/ｂ　＝　1/ｆ　　　となります。

これがレンズの基本公式です。

ただし，この公式には符号の約束があります。

　　　　凸レンズでは　ｆを正にします。
　　　　凹レンズでは　ｆを負にします。

　　　　実像では　ｂを正にします。
　　　　虚像では　ｂを負にします。

このように符号を約束すると，凸レンズでも凹レンズでも実像でも
虚像でもオールマイティに使えます。

さて，レンズによってつくられる像はいつも物体と同じ大きさでは
ありません。
物体の大きさに対する像の大きさの比を，そのレンズの「倍率」と
いいます。
上の図では，倍率ｍは

　　　　　ｍ＝ (Ａ′Ｂ′)/(ＡＢ)　　　ということですが，

　　　(*)式を用いると

　　　　　ｍ＝ｂ/ａ　　　となります。

像が虚像のときはｂが負になりますから，一般的には絶対値と
して

　　倍率は　　ｍ＝｜ｂ/ａ｜　　です。

最近はオシャレとしてメガネをかける人も多いですが，コンタク
トレンズにしている人も多いですね。
(カラーコンタクトなんかもあります)
発行人ケンはメガネ派です。
実は学生時代はコンタクトでしたが，ある日，眼が少し疲れたの
で，片方のレンズから取ろうとしたところ，うっかり芝生の上に
落としてわからなくなってしまいました。
まァ，片方だけだから後日買おうと思っていたのですが，一方だ
けコンタクトが入っていると全く焦点が合わず，とても見づらい
ので，もう一方もはずしたところ，こっちも落としてしまいまし
た。(同じ日に1つずつ失くしてしまいました)
その日以来，コンタクトは止めました。

七転びヤンキー　（← ？)

今回はここまでです。

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