理系受験生のための基礎物理　　　　第42号 [まぐまぐ！]

2008/07/14

理系受験生のための基礎物理　　　　第42号

◆◆◆＝＝＝＝ Basic physics ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　　　　　　　　理系受験生のための基礎物理　　　　第42号

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　■　「弦の振動」について

以前の配信で，波長や振動数，振幅が同じ進行波が逆向きに伝わっ
てきて重なり合うと定常波ができることをお話しました。

　　　定常波の発生　↓
http://www.crambook-physics.com/sw0801.html

今回は，弦の上で生じる定常波について考えます。

図のように，長さｌ(エル) の弦ＡＢを水平に張り，Ａ端におんさ
を取り付けます。
(エーちゃんは矢沢永吉です)

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｌ(エル)
　　　　　　　――●――――――――――――――――――●　　　
　　　　　―｜　　Ａ　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｂ
　　　　　　　――
　　　　　　(おんさ)

　　　(フォントの設定がプロポーショナルだとＢの位置がズレます)

おんさを振動させると，Ａ端はおんさと共に振動するため，弦の
上をＡからＢに向かって波が伝わっていきます。
おんさの動きを，私達のような人間が振動させる場合と同じよう
に考えないで下さい。
私達がどんなに速く弦を振動させたとしても，弦には波などでき
ません！
(だって，みなさんがゲーセンでボタンを1秒間に20回押せますか？)
人間がどんなに速く動いたとしても，そのスピードはたいしたもの
ではありません。
それに比べて，おんさは1秒間に300回とか，400回とか，私達が
想像する以上の速さで振動します。

おんさに取り付けられたＡ端は，おんさと一緒に振動しますが，
Ａ端より少し右の部分は，Ａ端の動きについていけず，少し遅れ
て振動します。
そのまた右の部分が，さらに少し遅れて振動します。
このようにして，弦の上を少しずつ遅れた振動が伝わっていき，
弦の上を波が進んでいきます。

弦は永遠に続いているわけではなく，どこかで端が固定されて
います。
(図ではＢ端が固定されています)
弦の上を伝わってきた進行波は，Ｂ端で反射して左に向かって
進む進行波になります。
このようにして，Ａから右に進む進行波と，Ｂから左に進む進行
波(反射波)が弦の上で重なり合って干渉し，ある条件を満たすと
弦ＡＢに定常波ができます。

最も単純な定常波は，ＡＢの間に腹が1つできる形です。

　　　　　　　　　　　　　　　　　ｌ(エル)
　　　　　　　Ａ●――――――（　　腹　　）――――――●Ｂ

ＡとＢは節になっています。
Ａも振動してはいるのですが，それより右の部分の弦のほうが
振られるため，慣性でより大きく振動してしまいます。
この形より単純な定常波はできませんので，この形を「基本振動」
といいます。

定常波の波長と進行波の波長は同じでしたから，このときの波長は
ＡＢ×2 で

　　　　　λ(1) ＝ 2ｌ(エル)　　　　です。

さらに，定常波の振動数と進行波の振動数も同じでしたから，
定常波の振動数がそのままおんさの振動数でもあります。
(おんさが振動するから弦には同じ振動数の進行波ができ，それが
重なって定常波になっています)
このとき，おんさと弦は共に同じ振動数で振動していますので，
このような現象を「共振」といいます。

では弦ＡＢに別のおんさを取り付けて共振するとき，基本振動の
次にできる定常波は腹が2つある形です。

　　　　　　　　　　　　　　　　ｌ(エル)
　　　　　　　Ａ●―――（腹）―――・―――（腹）―――●Ｂ
　　　　　　　　節　　　　　　　　　節　　　　　　　　　節

　　　　　　　　　　(Ａ端と真ん中の点とＢ端が節です)

この形は，基本振動の形が2つあるので「2倍振動」といいます。
このときの定常波の波長(進行波の波長)は

　　　　　λ(2) ＝ｌ(エル)　　　　です。

さらに別のおんさを取り付けて弦ＡＢが共振するときの次の定常波
は，腹が3つある形です。

　　　　　　　　　　　　　　　　ｌ(エル)
　　　　　　　Ａ●――(腹)――・――(腹)――・――(腹)――●Ｂ
　　　　　　　　節　　　　　　節　　　　　　節　　　　　　節

　　　　　　　(Ａ端とＢ端が節で，ＡＢ間に2つ節があります)

この形は，基本振動の形が3つあるので「3倍振動」といいます。
このときの定常波の波長(進行波の波長)は

　　　　　λ(3) ＝ (2/3)ｌ（エル）　　です。

実際には，弦を伝わっている進行波そのものを見ることはできま
せん。
見ることができるのは進行波どうしが重なり合った定常波です。

弦を伝わる波(進行波)の速さは，弦の張力や，弦そのものの質量
に関係します。
張力が強いと，弦の上を波は速く伝わります。
また，弦の質量が大きいと(重い弦だと)動きにくいので，波はあ
まり速く伝わりません。

弦の張力と質量を一定にしておけば，弦を伝わる波は一定の速さ
で伝わります。
このときの波の速さをｖとしましょう。
基本振動での振動数ｆ(1) は

　　　　　ｆ(1) ＝ｖ/λ(1) ＝ｖ/(2ｌ)

2倍振動での振動数ｆ(2) は

　　　　　ｆ(2) ＝ｖ/λ(2) ＝ｖ/ｌ＝ (2ｖ)/(2ｌ)

3倍振動の振動数ｆ(3) は

　　　　　ｆ(3) ＝ｖ/λ(3) ＝ｖ/((2/3)ｌ) ＝ (3ｖ)/(2ｌ)

                                               となります。

この規則性から，一般的に n倍振動が起きるときの振動数ｆ(n)
は

　　　　　ｆ(n) ＝ (nｖ)/(2l)　　　　(nは自然数)

であることがわかります。

つまり，弦の張力と質量が決まると，どんな振動数でも共振する
わけではなく，ある決まった振動数のときにしか共振しません。
このような振動数を，その弦の「固有振動数」といいます。
また，固有振動数で振動している状態を「固有振動」といいます。

ギターが弾けるとカッコイイですし，女の子にモテます。
でも発行人ケンはベースが好きです。

今回はここまでです。

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