理系受験生のための基礎物理　　　　第34号 [まぐまぐ！]

2008/06/27

理系受験生のための基礎物理　　　　第34号

◆◆◆＝＝＝＝ Basic physics ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　　　　　　　　理系受験生のための基礎物理　　　　第34号

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　■　「単振動」について　　(3)

前回まで単振動について考えてきました。
単振動する物体には，つねに中心からの変位ｘに比例して，もとに
もどそうとする力(＝復元力)

　　　　　　　　　Ｆ＝－Ｋｘ　　がはたらき，

このような運動をする質量ｍの物体の周期Ｔは

　　　　　　　　　Ｔ＝ 2π√(ｍ/Ｋ)　　でした。

　　　　　　　(Ｋはばね定数のｋではありません)

今回は，この単振動を応用した物体の動きを考えてみます。

長さｌ(エル) の糸に，質量ｍの物体を取り付けて，吊り下げます。

　　　　　　　＿＿＿＿＿
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜ｌ(エル)
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　○ ｍ

この物体を少しずらして放すと，左右に揺れる振り子になります。
このような振り子を「単振り子」といいます。

この単振り子のふれ幅が小さいと，物体の動きは近似的に，水平方向に
単振動していると考えられます。
(実際には弧を描く往復運動です)
今回の目的は，この単振り子の周期を求めることです。

物体をつりあいの位置から少しずらしたとき，糸と鉛直線のなす角をθ，
水平方向の変位をｘとします。　(右向き正です)

　　　　　＿＿＿＿＿
　　　　　　　｜＼
　　　　　　　｜θ＼　　
　　　　　　　｜　　＼
　　　　　　　｜　　　＼ｌ(エル)
　　　　　　　｜　　　　＼
　　　　　　　｜　　　　　＼
　　　　　　　　――――――○　→＋ｘ
　　　　　　　　　　ｘ　　｜
　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　　　　　　↓ ｍｇ　(ｍｇは物体にはたらく重力です)
　　　　
　　　(フォントの設定がプロポーショナルだと図がくずれます)

上図は極端に描いてありますが，θ は非常に小さい角です。
このとき，物体に重力ｍｇがはたらいていますが，この重力を「糸方向」
と「糸と直角方向」に分解します。

「重力の向き」と「糸方向の分力」のなす角は，平行線の同位角より θ
ですから，

　　　　　　　　　○
　　　　　　　　／｜＼
　　　　　　　／　｜θ＼
　　　　　　　　　｜　　＼
　　　　　　　　　｜
　　　　　　　　　↓
　　　　　　　　　ｍｇ

「糸と直角方向」の分力は　ｍｇsinθ　です。
この分力は水平方向ではありません。
弧の接線方向です。
でも， θ が非常に小さいときは，この分力は近似的に水平方向の力です。
この分力ｍｇsinθ が，単振り子を中心にもどそうとする復元力になって
います。

右向きを正(プラス)方向として，θ が正のときの復元力Ｆは
(向きを考慮して)

　　　　　　Ｆ ≒ －ｍｇsinθ　　　　　・・・・・・・・(*)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　となります。

ここで，糸の長さｌ(エル) と水平方向の変位ｘについての三角形に
注目すると，

　　　　　　　｜＼
　　　　　　　｜θ＼
　　　　　　　｜　　＼
　　　　　　　｜　　　＼ｌ(エル)
　　　　　　　｜　　　　＼
　　　　　　　｜　　　　　＼
　　　　　　　　――――――
　　　　　　　　　　ｘ

　sinθ ＝ｘ/ｌ　となりますから，この分数を(*)式に代入すると，

単振り子の復元力は

　　　　　Ｆ＝－ｍｇ (ｘ/ｌ)

　　　　　　＝－(ｍｇ/ｌ) ｘ　　と表せます。

この式で，ｍ，ｇ，ｌ(エル) はそれぞれ一定ですので，
(ｍｇ/ｌ) は一定値です。
つまり，この単振り子の復元力は，単振動の復元力Ｆ＝－Ｋｘの
形そのものです。
そして，Ｋに相当するのが (ｍｇ/ｌ) です。

ということは，単振動の周期の公式Ｔ＝ 2π√(ｍ/Ｋ) のＫに
(ｍｇ/ｌ) を代入すると
単振り子の周期が求まります。

　　　　　Ｔ＝ 2π√(ｍ/Ｋ)

　　　　　　＝ 2π√(ｍ/(ｍｇ/ｌ))

　　　　　　＝ 2π√(ｌ/ｇ)　　　　　となります。

この結果からわかるように，単振り子の周期は物体の質量ｍには
関係しません。
振り子の長さｌ(エル) と重力加速度ｇだけに関係します。

この公式は，振れ角 θ が小さいときだけですが，実験的には20°
くらい振れても成り立つようです。

最近の振り子時計は，電動で強制的に動かしているものばかりです
が，昔のゼンマイで動く振り子時計は，おもりを上下に微調整し，
長さｌ(エル) を変えることで時刻の進みや遅れを直していました。

今回で，力学分野はとりあえず終了です。
ですが，後日配信します「電気分野」や「磁気分野」にも力学が
しばしば登場しますので，忘れないようにしましょう。
次回からは「波動分野」についての配信です。

最後に小話をひとつ紹介します。

小さな男の子と女の子が話しています。

男の子『ボクの腹時計は正確なんだぞ』
女の子『あら，アタシの腹時計も正確よ』
男の子『君の腹時計は止まっているよ』
女の子『どうして？』
男の子『だって，振り子がついてないもん』

エッチなオチでした。

今回はここまでです。

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