2009/09/15
中学生の一日一問改県立高校入試過去問vol.14
------------------------------------------------------------------------ 「中学生の一日一問」読者様へ 県立過去問解説のメルマガをこちらでも配信しています。 新メルマガを購読されている方は重複してしまいますが、ご了承ください。 □--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ ◇◆ 県立高校入試過去問 ◆◇ vol.14 ≪平成18年 数学[4](2)≫ 2009/9/15配信 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 問題 → 標準時間 → ★１★ → ★２★ → ★３★ → ★４★ → ★まとめ★ このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。 各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 平成１８年 数学 ［４］右の図のように４点Ａ(－５，９)，Ｂ(－５，－３)，Ｃ(３，－３)，Ｄ(３， ９)を頂点とする四角形ＡＢＣＤがある。また、曲線アは関数ｙ＝(１／２)ｘ^2の グラフである。 このとき、次の(1)，(2)の問いに答えなさい。ただし、Ｏは原点とする。 (1)四角形ＡＢＣＤの内側にあり、曲線ア上の転で、ｘ座標もｙ座標も整数である 点は全部で何個あるか求めなさい。 －－－－－－－－－－－－－－ ここから －－－－－－－－－－－－－－ (2)点Ｐは四角形ＡＢＣＤの内側にあり、曲線ア上の点とする。△ＡＰＢの面積と △ＤＰＣの面積の比が１：２となるとき、点Ｐの座標を求めなさい。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ まずはグラフを丁寧に描いて、ノーヒントで解いてみましょう。 制限時間は３分！(最初からやる場合は８分) ノートと筆記用具を用意して、ケータイなどでタイマーを３分にセット！ 準備は良いですか？ ・・・スタート！！ タイマーが鳴ったら終了！ 解けても解けなくても終了です。 お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう！ > ---------------------------------------------------------------------- > 発行者のえまよりお知らせです > > 江間塾は「ＡＥ個別学習室」と改称し、赤塚駅から徒歩１２分のマンションに > 教室を開設しました。家庭教師の生徒さんも引き続き募集中です。 > 詳しくは http://www.a-ema.com/ などをご覧ください。 > > ---------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------ ★１★ ------------------------------------------------------------------------ 面積の比を求める問題の場合は、 ○面積自体を数字で求める ○どこかの座標や文字でおいて、その文字を使って面積を表す ○どこかの図形の面積を文字でおいて、その文字を使って面積を表す たいていは、これらのうちのどれかをすれば良いことになります。 数字で面積が出れば、それに超したことはありません。 必要な座標や長さなどが全てわかっている場合です。 数字で出ないなら、どこかの座標を文字で置けば、いろんなところの座標も文字で 置くことができて、結果的に面積を文字で表すことができるかも知れません。 必要な座標や長さの一部がわかっていないが、ある関数上にある点を使う場合など です。 座標や長さが一つもわからず、相似比や辺の比のみが示されているなど、先に考え た２つがどちらもできなかった場合は、どこかの面積を文字でおいて、他のところ がその何倍か？などを考えます。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★１★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★２★ ------------------------------------------------------------------------ この問題の場合は、四角形ＡＢＣＤは長方形で、その頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの座標が 全てわかっていて、面積の比が１：２ということもわかっています。 △ＡＢＰも△ＤＰＣも、どちらも縦にまっすぐの長方形の辺が底辺と考えられそう ですね？ とりあえず、△ＡＢＰについて考えてみましょう。 △ＡＢＰは底辺をＡＢとすれば、頂点はＰです。 ＡＢの長さはＡとＢのｙ座標の差から、１２になります。 つまり、底辺は１２です。 高さは「頂点から底辺に下ろした垂線」のことなので、ＰからＡＢに下ろした垂線 が高さになります。 ここで、一つ残念なお知らせ（笑） Ｐの座標は今のところわかりません。っていうか、Ｐの座標を求める問題です。 ・・・ということは、単純に面積だけを出すことはできないようです。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★２★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★３★ ------------------------------------------------------------------------ 面積が出せないなら、Ｐの座標を文字で置いてみよう！という話になります。 ところで、Ｐというのはどんな点なのか再確認してみましょう。 「点Ｐは四角形ＡＢＣＤの内側にあり、曲線ア上の点とする。」と問題文に書いて あります。曲線アはｙ＝(１／２)ｘ^2なので、仮に ｘ座標が１ならば、ｙ座標は１／２、 ｘ座標が２ならば、ｙ座標は２、 ｘ座標が３ならば、ｙ座標は９／２ となりますね。 これらはどうやって求めましたか？ そう。ｘ座標をアの式に代入しましたね。 ならば、ｘ座標がｐのときはｙ座標はどうなるでしょうか？ ｘにｐを代入すればいいのだから・・・ ｙ＝(１／２)ｐ^2 つまり、点Ｐの座標は(ｐ, (１／２)ｐ^2）とおくことができます。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★３★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★４★ ------------------------------------------------------------------------ すると、ＰとＡＢの距離、つまり△ＡＰＢの高さはｐ－(－５)＝ｐ＋５です。 長さを求めるときは、大きい方から小さい方を引きます。 △ＡＰＢは底辺も高さもわかったので、面積を表すことができそうです。 △ＡＰＢ＝１２×(ｐ＋５)÷２ ＝６(ｐ＋５) 同様にすると、△ＤＰＣの面積も表すことができますね。 △ＤＰＣ＝１２×(３－ｐ)÷２ ←高さは大きい方から小さい方を引いた ＝６(３－ｐ) これらが１：２なので、そのまま式を作ってみます。 ６(ｐ＋５)：６(３－ｐ)＝１：２ ６(ｐ＋５)×２＝６(３－ｐ)×１ ２(ｐ＋５)＝３－ｐ ←両辺を６で割った ２ｐ＋１０＝３－ｐ ２ｐ＋ｐ＝３－１０ ←移項した ３ｐ＝－７ ｐ＝－７／３ これでＰのｘ座標がわかりました。ｙ＝(１／２)ｐ^2なので、これに代入します。 ｙ＝(１／２)×(－７／３)^2 ＝(１／２)×４９／９ ＝４９／１８ よってＰ(－７／３，４９／１８) ------------------------------------------------------------------------ ★まとめ★ ------------------------------------------------------------------------ わかっているのは面積の比と座標だね → それぞれの三角形の底辺と高さを表して → 面積を文字で表してみよう → 面積が１：２という式を作れば → あとは解くだけ！(^^)v ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ------------------------------------------------------------------------ 発行者：ＡＥ個別学習室／プロ家庭教師の江間淳 http://www.a-ema.com/ ------------------------------------------------------------------------ 無断転載・引用を禁じます。 ちなみに、他にもっと簡単に見える方法で解くことができますが、論理的な関数の 方法を示した方が今後の役に立つと思って、今回はこんなふうにしてみました。
