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2009/12/10

中学生の一日一問改 高校入試過去問 vol.16

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◇◆ 県立高校入試過去問 ◆◇ vol.16 ≪平成18年 数学[5](2)≫
                            2009/12/10配信
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問題 → 標準時間 → ★1★ → ★2★ → ★3★ → ★4★ → ★まとめ★
このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。
各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。

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平成18年 数学[5]

 右の図のように、点Aを頂点とし、点Oを中心とする円を底面とする円すいが
ある。母線ABの長さは6cm、円Oの直径BCの長さは4cmである。また、点C
からこの円すいの側面にそって母線ABと交わり1周して点Cにもどってくる
最短の線をひき、ひいた線が母線ABと交わる点をDとする。点Pは点Aを出発
し、母線AB上を秒速1cmで点Bまで動く。
(この文章の右側に円すいがあり、頂点がA、底面の中心がO、底面の左端がB、
右端がC、母線AB上にAに近い方からP,Dがあり、PとO、BとCをそれぞれ
結ぶ点線があり、円すいの表面上をC,Dを通って描かれた円がある)

 このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。
(1) 線分OPの長さが最短となるのは、出発してから何秒後か求めなさい。

 -------------- ここから --------------

(2) 点PがDを通過するのは、出発してから何秒後か求めなさい。

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まずは図形を丁寧に描いて、ノーヒントで解いてみましょう。

制限時間は5分!(最初からやる場合は10分)
ノートと筆記用具を用意して、ケータイなどでタイマーを5分にセット!

準備は良いですか?

・・・スタート!!










タイマーが鳴ったら終了!
解けても解けなくても終了です。
お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう!
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> 発行者のえまよりお知らせです
> 
> 「AE個別学習室」および「プロ家庭教師の江間」は通常授業の他にも、
> 通信添削、学習相談、英日翻訳なども行っています。いろいろ募集中です。
> 詳しくは http://www.a-ema.com/ などをご覧ください。
> 
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                 ★1★
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前回と同じですが・・・

> 図形の問題の最短距離は、だいたい次のようにすれば求めることができます。
> 
> 
> 立体図形の表面の最短距離を求める場合は・・・
> 
> ○ 展開図を描いて2点を直線で結び、その長さを求める。
> 
> 
> 点と直線の最短距離を求める場合は・・・
> 
> ○ 点から直線へ垂線をひいて、その長さを求める。
> 
> 
> 最短距離を求めるために自分でひいた線は、大抵は斜めの線になるので、
> 三平方の定理は必須事項ですね。

この問題の場合は、まずDの位置を知る必要があります。
Dの位置がわからなければ、PがDを通過した時間を計算できません。

Dは円すいの側面上にあります。
立体図形の表面上なので、最短距離は展開図上の直線になります。

Cと頂点Aを結ぶ直線でこの円すいを切り開いた形で展開図を描いてみます。
すると、できた円すいの両端を結んだ直線が「最短距離」の線分となりますね。

点PはAを出発して秒速1cmで動くので、ADの長さがわかれば、その単位を
秒に直してしまえば、それが求める時間となります。


ここまで「なるほど。その通りだ!」と納得できましたか?
今ひとつモヤモヤしてる人は、★1★の最初からもう一度読んでみてください。


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                 ★2★
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では、実際にやってみましょう。

今現在わかっているのは、母線の長さつまり円すいの半径が6cm、底面の直径
が4cmだけです。これだけでは、ADの長さを求めることは難しそうです。
そんなときは、まずは他に出せそうなものを出してみましょう。

母線と底面の半径がわかっているので、扇形の中心角は出すことができそうです。
立体にしたときは底面の円周と側面の扇形の弧が一致するので、中心角をa°と
すると、

2π×2=2π×6×a/360
   2=6×a/360    ←両辺を2πでわった
   2=a/60       ←右辺を約分した
   a=120        ←両辺を入れ替えて60を掛けた

ってことで、扇形の中心角は120°であることがわかりました。
ABはちょうど真ん中の線なので、∠CAB=60°です。

そして、「最短距離」の線分と扇形の半径で囲まれた三角形は二等辺三角形に
なります。

ここまででかなりいろいろなことがわかってきました。
図に整理して書き込んでおきましょう。

扇形があって、その中心角は120°、線分ABは二等分線なので、分けられた
角はそれぞれ60°、最短距離の線分を使ってできた三角形は二等辺・・・


ここまで「なるほど。その通りだ!」と納得できましたか?
今ひとつモヤモヤしてる人は、★2★の最初からもう一度読んでみてください。


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                 ★3★
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それでは、わかったことを利用してADを求めてみましょう。
先ほど描いた図を見ながら読んでくださいね~!

二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺の垂直二等分線になる。という性質が
ありますね。そして、線分ABは頂角の二等分線です。
ということは、線分ABは「最短距離」の線分を垂直に二等分するわけです。

頂角がもともと120°で、二等分されて60°になった。
底辺を垂直二等分した。ということは、二等分線によってできた角は直角。
すると、残りの一つの角は30°。

90°60°30°の三角形の辺の比は1:2:√3でしたね。
一番短いのが1で、斜辺が2、残りの一つが√3です。

この場合、斜辺になるのが半径の6cmです。
一番短いのが求めるADなので、半径の半分です。
よって、AD=3cm。

点Pは1秒で1cm移動するので、3秒でDに達することになります。


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                ★まとめ★
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  1秒1cmだから、長さと時間は同じだね

→ 今度は立体の表面の最短距離だね

→ それなら展開図!

→ 直線で結んだらそれが最短だよね

→ あとは出るところを出して、三平方の定理でOK!

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        発行者:AE個別学習室/プロ家庭教師の江間淳
              http://www.a-ema.com/
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