2009/12/10
中学生の一日一問改 高校入試過去問 vol.16
------------------------------------------------------------------------ 「中学生の一日一問」読者様へ 県立過去問解説のメルマガをこちらでも配信しています。 新メルマガを購読されている方は重複してしまいますが、ご了承ください。 □--■--□--■--□--■--□--------------------------------------------◆ ◇◆ 県立高校入試過去問 ◆◇ vol.16 ≪平成18年 数学[5](2)≫ 2009/12/10配信 ◆----------------------------------------□--■--□--■--□--■--□--■ 問題 → 標準時間 → ★１★ → ★２★ → ★３★ → ★４★ → ★まとめ★ このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。 各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 平成１８年 数学[5] 右の図のように、点Ａを頂点とし、点Ｏを中心とする円を底面とする円すいが ある。母線ＡＢの長さは６cm、円Ｏの直径ＢＣの長さは４cmである。また、点Ｃ からこの円すいの側面にそって母線ＡＢと交わり１周して点Ｃにもどってくる 最短の線をひき、ひいた線が母線ＡＢと交わる点をＤとする。点Ｐは点Ａを出発 し、母線ＡＢ上を秒速１cmで点Ｂまで動く。 (この文章の右側に円すいがあり、頂点がＡ、底面の中心がＯ、底面の左端がＢ、 右端がＣ、母線ＡＢ上にＡに近い方からＰ，Ｄがあり、ＰとＯ、ＢとＣをそれぞれ 結ぶ点線があり、円すいの表面上をＣ，Ｄを通って描かれた円がある) このとき、次の(1)、(2)の問いに答えなさい。 (1) 線分ＯＰの長さが最短となるのは、出発してから何秒後か求めなさい。 －－－－－－－－－－－－－－ ここから －－－－－－－－－－－－－－ (2) 点ＰがＤを通過するのは、出発してから何秒後か求めなさい。 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ まずは図形を丁寧に描いて、ノーヒントで解いてみましょう。 制限時間は５分！(最初からやる場合は１０分) ノートと筆記用具を用意して、ケータイなどでタイマーを５分にセット！ 準備は良いですか？ ・・・スタート！！ タイマーが鳴ったら終了！ 解けても解けなくても終了です。 お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう！ > ---------------------------------------------------------------------- > 発行者のえまよりお知らせです > > 「ＡＥ個別学習室」および「プロ家庭教師の江間」は通常授業の他にも、 > 通信添削、学習相談、英日翻訳なども行っています。いろいろ募集中です。 > 詳しくは http://www.a-ema.com/ などをご覧ください。 > > ---------------------------------------------------------------------- ------------------------------------------------------------------------ ★１★ ------------------------------------------------------------------------ 前回と同じですが・・・ > 図形の問題の最短距離は、だいたい次のようにすれば求めることができます。 > > > 立体図形の表面の最短距離を求める場合は・・・ > > ○ 展開図を描いて２点を直線で結び、その長さを求める。 > > > 点と直線の最短距離を求める場合は・・・ > > ○ 点から直線へ垂線をひいて、その長さを求める。 > > > 最短距離を求めるために自分でひいた線は、大抵は斜めの線になるので、 > 三平方の定理は必須事項ですね。 この問題の場合は、まずＤの位置を知る必要があります。 Ｄの位置がわからなければ、ＰがＤを通過した時間を計算できません。 Ｄは円すいの側面上にあります。 立体図形の表面上なので、最短距離は展開図上の直線になります。 Ｃと頂点Ａを結ぶ直線でこの円すいを切り開いた形で展開図を描いてみます。 すると、できた円すいの両端を結んだ直線が「最短距離」の線分となりますね。 点ＰはＡを出発して秒速１ｃｍで動くので、ＡＤの長さがわかれば、その単位を 秒に直してしまえば、それが求める時間となります。 ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★１★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★２★ ------------------------------------------------------------------------ では、実際にやってみましょう。 今現在わかっているのは、母線の長さつまり円すいの半径が６ｃｍ、底面の直径 が４ｃｍだけです。これだけでは、ＡＤの長さを求めることは難しそうです。 そんなときは、まずは他に出せそうなものを出してみましょう。 母線と底面の半径がわかっているので、扇形の中心角は出すことができそうです。 立体にしたときは底面の円周と側面の扇形の弧が一致するので、中心角をａ°と すると、 ２π×２＝２π×６×ａ／３６０ ２＝６×ａ／３６０ ←両辺を２πでわった ２＝ａ／６０ ←右辺を約分した ａ＝１２０ ←両辺を入れ替えて６０を掛けた ってことで、扇形の中心角は１２０°であることがわかりました。 ＡＢはちょうど真ん中の線なので、∠ＣＡＢ＝６０°です。 そして、「最短距離」の線分と扇形の半径で囲まれた三角形は二等辺三角形に なります。 ここまででかなりいろいろなことがわかってきました。 図に整理して書き込んでおきましょう。 扇形があって、その中心角は１２０°、線分ＡＢは二等分線なので、分けられた 角はそれぞれ６０°、最短距離の線分を使ってできた三角形は二等辺・・・ ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？ 今ひとつモヤモヤしてる人は、★２★の最初からもう一度読んでみてください。 ------------------------------------------------------------------------ ★３★ ------------------------------------------------------------------------ それでは、わかったことを利用してＡＤを求めてみましょう。 先ほど描いた図を見ながら読んでくださいね～！ 二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺の垂直二等分線になる。という性質が ありますね。そして、線分ＡＢは頂角の二等分線です。 ということは、線分ＡＢは「最短距離」の線分を垂直に二等分するわけです。 頂角がもともと１２０°で、二等分されて６０°になった。 底辺を垂直二等分した。ということは、二等分線によってできた角は直角。 すると、残りの一つの角は３０°。 ９０°６０°３０°の三角形の辺の比は１：２：√３でしたね。 一番短いのが１で、斜辺が２、残りの一つが√３です。 この場合、斜辺になるのが半径の６ｃｍです。 一番短いのが求めるＡＤなので、半径の半分です。 よって、ＡＤ＝３ｃｍ。 点Ｐは１秒で１ｃｍ移動するので、３秒でＤに達することになります。 ------------------------------------------------------------------------ ★まとめ★ ------------------------------------------------------------------------ １秒１cmだから、長さと時間は同じだね → 今度は立体の表面の最短距離だね → それなら展開図！ → 直線で結んだらそれが最短だよね → あとは出るところを出して、三平方の定理でＯＫ！ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ------------------------------------------------------------------------ 発行者：ＡＥ個別学習室／プロ家庭教師の江間淳 http://www.a-ema.com/ ------------------------------------------------------------------------ 無断転載・引用を禁じます。
