2009/12/17
高校生の一日一問改vol.16
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◇◆ センター過去問解説 ◆◇ vol.16 ≪2007年 数IA 第２問(2)≫
2009/12/17配信
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問題 → 標準時間 → ★１★ → ★２★ → ★３★ → ★４★ → ★まとめ★
このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。
各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。
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第２問
ａを定数とし、ｘの２次関数
ｙ＝ｘ^2－２(ａ－１)ｘ＋２ａ^2－８ａ＋４・・・{1}
のグラフをＧとする。
(1) グラフＧが表す放物線の頂点の座標は
(ａ－[ア]，ａ^2－[イ]ａ＋[ウ])
である。グラフＧがｘ軸と異なる２点で交わるのは
[エ]－√[オ]＜ａ＜[エ]＋√[オ]
のときである。さらに、この２つの交点がともにｘ軸の負の部分にあるのは
[カ]－√[キ]＜ａ＜[ク]－√[ケ]
のときである。
－－－－－－－－－－－－－－ ここから －－－－－－－－－－－－－－
(2) グラフＧが表す放物線の頂点のｘ座標が３以上７以下の範囲にあるとする。
このとき、ａの値の範囲は
[コ]≦ａ≦[サ]
であり、２次関数{1}の３≦ｘ≦７における最大値Ｍは
[コ]≦ａ≦[シ]のとき
Ｍ＝[ス]ａ^2－[セソ]ａ＋[タチ]
[シ]≦ａ≦[サ]のとき
Ｍ＝[ツ]ａ^2－[テト]ａ＋[ナニ]
である。
したがって、２次関数{1}の３≦ｘ≦７における最小値が６であるならば
ａ＝[ヌ]＋[ネ]√[ノ]
であり、最大値Ｍは
Ｍ＝[ハヒ]－[フ]√[ヘ]
である。
(○は{ }で、解答部分の□は[ ]で表しています)
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制限時間は５分！(最初からやる場合は１０分)
ノートと筆記用具を用意して、ケータイのタイマー機能を５分にセット！
準備は良いですか？
・・・スタート！！
タイマーが鳴ったら終了！
解けても解けなくても終了です。
お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう！
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> 発行者のえまよりお知らせです
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> 江間塾は「ＡＥ個別学習室」と改称し、赤塚駅から徒歩１２分のマンションに
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★１★
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まずは、「頂点のｘ座標が３以上７以下」とあるので、その通りに式を作って
みましょう。頂点のｘ座標はａ－１なので、
３≦ａ－１≦７
とすることができます。これの全体に＋１をすると
４≦ａ≦８
となります。
ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？
今ひとつモヤモヤしてる人は、★１★の最初からもう一度読んでみてください。
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★２★
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最大最小を考えるときには、グラフの形を考える必要があります。
２次関数{1}は下に凸のグラフです。
ということは、頂点が最大値になることはありません。
最大値は定義域の範囲の中で一番上のところです。
そして、頂点は一番出っぱっているところなので、下に凸ということは、一番
下の場所となってしまいます。
グラフを見てもらえばわかりますが、頂点から遠くなるほど値が大きくなります。
つまり、定義域の両端のうち、頂点から遠い方が最大値となります。
「頂点から遠い方って言っても、左のときもあるし、右のときもあるよね。
どうすればいいんだろう？」
なんて疑問を持った人、とても良いです。
そうです。右と左のどっちが最大になるかは問題の条件だけでは決まりません。
そんなときは、場合分けをします。
定義域のちょうど真ん中に頂点が来たときは両端が最大になってしまうので、
真ん中のときが境目となりますね。
つまり、左端から真ん中までと真ん中から右端までの２通りで分けます。
定義域は３≦ｘ≦７なので、真ん中は５です。
３≦ｘ≦５のときは、頂点が左寄りなので、右端つまりｘ＝７のときが最大値。
頂点のｘ座標はａ－１なので、そのときのａの範囲は４≦ａ≦６。
{1}にｘ＝７を代入すると、
ｙ＝７^2－２(ａ－１)×７＋２ａ^2－８ａ＋４
＝４９－１４(ａ－１)＋２ａ^2－８ａ＋４
＝４９－１４ａ＋１４＋２ａ^2－８ａ＋４
＝２ａ^2－２２ａ＋６７
次に頂点が右よりのときもやってみましょう。
５≦ｘ≦７のときは、頂点が右よりなので、左端つまりｘ＝３のときが最大値。
同じくそのときのａの範囲は６≦ａ≦８。
{1}にｘ＝３を代入すると、
ｙ＝３^2－２(ａ－１)×３＋２ａ^2－８ａ＋４
＝９－６(ａ－１)＋２ａ^2－８ａ＋４
＝９－６ａ＋６＋２ａ^2－８ａ＋４
＝２ａ^2－１４ａ＋１９
ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？
今ひとつモヤモヤしてる人は、★２★の最初からもう一度読んでみてください。
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★３★
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{1}は下に凸の２次関数で、定義域内に頂点があるので、頂点のｙ座標が最小値に
なります。つまり、
ａ^2－６ａ＋３＝６
ａ^2－６ａ－３＝０ ←移行した
２次方程式の解の公式に代入して
ａ＝[－(－６)±√{(－６)^2－４・１・(－３)}]／２
＝{６±√(３６＋１２)}／２
＝(６±√４８)／２
＝(６±４√３)／２
＝３±２√３ ←約分した
４≦ａ≦８なので、ａ＝３＋２√３
√３は約１．７３なので、３＋２√３は
３＋３．４６＝６．４６
となります。
頂点のｘ座標はａ－１＝６．４６－１＝５．４６
なので、定義域の真ん中より右側です。
ということは、最大値Ｍは２ａ^2－１４ａ＋１９。
これにａ＝３＋２√３を代入します。
Ｍ＝２(３＋２√３)^2－１４(３＋２√３)＋１９
＝２(９＋１２√３＋１２)－４２－２８√３＋１９
＝１８＋２４√３＋２４－２３－２８√３
＝１９－４√３
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★まとめ★
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頂点の座標はａで表したよね
→ 頂点の範囲が決まればａも決まるね
→ 最大は頂点から遠い方で
→ 下に凸のグラフの最小値は頂点のところ
→ ａの値が決まれば、頂点の位置が決まって、最大値も決まるんだね
→ できた～！
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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