2009/10/28
高校生の一日一問改センター過去問2007年IA第1問[2]
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◇◆ センター過去問解説 ◆◇ vol.14 ≪2007年 数IA 第１問[2]≫
2009/10/28配信
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問題 → 標準時間 → ★１★ → ★２★ → ★３★ → ★４★ → ★まとめ★
このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。
各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。
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第１問
[2] 集合Ａ，Ｂを
Ａ＝{ｎ｜ｎは１０で割り切れる自然数}
Ｂ＝{ｎ｜ｎは４で割り切れる自然数}
とする。
(1)次の[カ]と[キ]に当てはまるものを次の{0}～{3}のうちから一つずつ選べ。
自然数ｎがＡに属することは、ｎが２で割り切れるための[カ]。
自然数ｎがＢに属することは、ｎが２０で割り切れるための[キ]。
{0} 必要十分条件である
{1} 必要条件であるが、十分条件でない
{2} 十分条件であるが、必要条件でない
{3} 必要条件でも十分条件でもない
(○は{ }で、解答部分の□は[ ]で表しています)
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「ここから」から下が今回の問題です。その前は前回の解答を使って構いません。
制限時間は３分！
ノートと筆記用具を用意して、ケータイのタイマー機能を３分にセット！
準備は良いですか？
・・・スタート！！
タイマーが鳴ったら終了！
解けても解けなくても終了です。
お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう！
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> 発行者のえまよりお知らせです
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> 江間塾は「ＡＥ個別学習室」と改称し、赤塚駅から徒歩１２分のマンションに
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★１★
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問題を見れば一目瞭然ですが、これは必要条件・十分条件についての問題です。
これらの条件の定義を良く覚えないままセンターに臨んでしまって、ヤマカンで
結局外れる。という人が案外多いです。
何が必要条件で、何が十分条件なのかは確実に覚えておくようにしましょう。
「ｐならばｑである」が真であるとき、つまり、常に成り立つとき、
ｐはｑの十分条件であり、ｑはｐの必要条件である。
また、単純にこれのｐとｑを入れ替えると・・・
「ｑならばｐである」が真であるとき、
ｑはｐの十分条件であり、ｐはｑの必要条件である。
と言うこともできるわけです。この手の問題を解くときは・・・
●「ｐならばｑである」が成り立つか考える。
●「ｑならばｐである」が成り立つか考える。
●これらの真偽に従って、必要条件・十分条件を判別する。
これだけ考えれば大丈夫！ってことになります。
ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？
今ひとつモヤモヤしてる人は、★１★の最初からもう一度読んでみてください。
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★２★
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この問題では「自然数ｎがＡに属することは、ｎが２で割り切れるため」の
何条件なのかを答えたいわけです。
それならば「自然数ｎがＡに属する」ことをｐ，「ｎが２で割り切れる」ことを
ｑとして、真偽を判断すれば良さそうだな～。なんて思ったりしてみるといい
かんじですね。
「自然数ｎがＡに属する」というのは、「ｎが１０で割り切れる」ということ
でしたね。
つまり、ｎが１０で割り切れるときに、ｎは２でも割り切れるのか？
と言っても同じ事です。
どうですか？
１０で割り切れるときは２でも割り切れますか？
一つでもダメな場合が見つかったら「偽」です。
・・・２で割れる数は偶数です。１０で割れる数も偶数です。
言い換えると、１０で割れれば必ず偶数で、偶数ならば必ず２で割れます。
つまり、この場合の「ｐならばｑである」は「真」である。と言えます。
ということは、「ｐはｑの十分条件である」とも言えます。
さらに元に戻すと・・・
「自然数ｎがＡに属することはｎが２で割り切れるための十分条件である」と
言ってることになります。
そして、逆の場合にも「真」であれば、必要条件でもあると言えます。
・・・が、逆の場合は「２で割れるときに１０で割れるか？」ということなので、
反例(ダメな場合)がたくさんありますね。例えば、４は２で割れるけど、１０
では割れません。
つまり、「ｑならばｐである」は「偽」です。＝ｐはｑの必要条件ではない。
よって、
「自然数ｎがＡに属することはｎが２で割り切れるために必要条件でない」
と言えます。
ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？
今ひとつモヤモヤしてる人は、★２★の最初からもう一度読んでみてください。
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★３★
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同様に、自然数ｎがＢに属することは、ｎが２０で割り切れるための何条件か
考えてみましょう。
Ｂ＝{ｎ｜ｎは４で割り切れる自然数}
だったので、
i)「４で割り切れるときに２０で割り切れるのか」
ii)「２０で割り切れるときに４で割り切れるのか」
これらを考えればよいわけです。先ほど考えたように・・・
i)が成り立てば十分条件、ii)が成り立てば必要条件ですね。
i)は反例(ダメな場合)がありますね。
例えば、８は４で割り切れるけど、２０では割り切れません。
ということは「偽」。
ii)は２０が４の倍数なので、２０で割り切れるときは必ず４で割り切れます。
ということは「真」。
つまり、
「自然数ｎがＢに属することは、ｎが２０で割り切れるための必要条件である」
と言えます。
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★まとめ★
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必要条件・十分条件ならば命題の真偽を考えよう
→ ２と１０・・・１０は２の倍数だね
→ ２０と４・・・２０は４の倍数だね
→ ｐ→ｑならｐはｑの十分条件
→ ｑ→ｐならｐはｑの必要条件
→ できた～！
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発行者 江間淳(EMA Atsushi)
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