2009/02/27
高校生の一日一問改センター数学vol.3 ≪2009年 数IA 第１問[2](1)≫
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◇◆ センター過去問解説 ◆◇ vol.3 ≪2009年 数IA 第１問[2](1)≫
2009/2/27配信
毎週金曜日発行
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問題 → 標準時間 → ★１★ → ★２★ → ★３★ → ★まとめ★
このような構成で、細かく段階をふんで解説をしています。
各段階ごとによく内容を理解してから次へ読み進めてください。
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[2] 実数ａに関する条件ｐ，ｑ，ｒを次のように定める。
ｐ：ａ^2≧２ａ＋８
ｑ：ａ≦−２またはａ≧４
ｒ：ａ≧５
(1)次の[ク]に当てはまるものを下の{0}〜{3}のうちから一つ選べ。
ｐはｑであるための[ク]
{0} 必要十分条件である
{1} 必要条件であるが、十分条件でない
{2} 十分条件であるが、必要条件でない
{3} 必要条件でも十分条件でもない
(解答部分の□は[ ]で、○は{ }で表しています)
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まずはノーヒントで解いてみましょう。
制限時間は２分！
ノートと筆記用具を用意して、ケータイのタイマー機能を２分にセット！
準備は良いですか？
・・・スタート！！
タイマーが鳴ったら終了！
解けても解けなくても終了です。
お疲れ様でした。それでは、解答・解説を読んでみましょう！
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★１★
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問題を見れば一目瞭然ですが、これは必要条件・十分条件についての問題です。
これらの条件の定義を良く覚えないままセンターに臨んでしまって、ヤマカンで
結局外れる。という人が案外多いです。
何が必要条件で、何が十分条件なのかは確実に覚えておくようにしましょう。
「ｐならばｑである」が真であるとき、つまり、常に成り立つとき、
ｐはｑの十分条件であり、ｑはｐの必要条件である。
また、単純にこれのｐとｑを入れ替えると・・・
「ｑならばｐである」が真であるとき、
ｑはｐの十分条件であり、ｐはｑの必要条件である。
と言うこともできるわけです。この手の問題を解くときは・・・
●「ｐならばｑである」が成り立つか考える。
●「ｑならばｐである」が成り立つか考える。
●これらの真偽に従って、必要条件・十分条件を判別する。
これだけ考えれば大丈夫！ってことになります。
ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？
今ひとつモヤモヤしてる人は、★１★の最初からもう一度読んでみてください。
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★２★
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この問題の場合は
ｐ：ａ^2≧２ａ＋８
ｑ：ａ≦−２またはａ≧４
でしたね。まずは「ｐならばｑである」が成り立つか考えてみましょう。
ｐは２次不等式なので、とりあえず普通に解いてみます。
ａ^2≧２ａ＋８
ａ^2−２ａ−８≧０
(ａ＋２)(ａ−４)≧０
∴ａ≦−２，ａ≧４
このように、計算してみたら、ｑと一致してしまいました。
ということは、「ｐならばｑである」は常に成り立つと言えそうです。
つまり、ｐはｑの十分条件である。ということです。
ここまで「なるほど。その通りだ！」と納得できましたか？
今ひとつモヤモヤしてる人は、★２★の最初からもう一度読んでみてください。
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★３★
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そして、ｐを計算したら、ｑと完全に一致した。ということは、逆にしても常に
成り立つと言えるはずです。
すなわち、ｑはｐの十分条件である。→ｐはｑの必要条件である。
ｐはｑの必要条件であり、十分条件でもあるので、まとめると・・・
ｐはｑの必要十分条件である。
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★まとめ★
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必要条件・十分条件の問題だね
→ 「ｐならばｑである」と「ｑならばｐである」が成り立つか考えてみよう
→ どっちも成り立ってしまった
→ ってことは、必要十分条件だね
→ あっ、終わりか（笑）
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