2009/06/19
数学マスターへの道 第0093号 複雑な因数分解２（解答）
☆━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━┓ ┃ 数学マスターへの道〜少なく覚えてとことん使う〜 ┃ ┃ 第0093号 (2009/06/19) ┃ ┗━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━☆ ※初めて読む方もいるかと思いますので、このメルマガでの記号の書き方につ いての約束事を２、３書いておくことにします。 ☆2乗、3乗などの表し方は、^2、^3とします。 （例）xの2乗 ⇒ x^2 ☆添え字は_1、_2といった形で書きます。 （例）数列の初項、第2項などは ⇒ a_1、a_2 対数の底a ⇒ log_a x 〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜 複雑な因数分解２（解答） 〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜 問 次の因数分解をしてください。 (1) x^6 + 7x^3 - 8 ＜コメント＞ 第90・91号の(4)と同じく、複2次式と呼ばれる式ですが、今度は x^3 が ベースとなっていますので、その分複雑になっています。 ＜解答＞ x^6 + 7x^3 - 8 = ( x^3 )^2 + 7x^3 - 8 x^3 = X とおくと ( x^3 )^2 + 7x^3 - 8 = X^2 + 7X - 8 = ( X - 1 )( X + 8 ) = ( x^3 - 1 )( x^3 + 8 ) = ( x - 1 )( x^2 + x + 1 )( x + 2 )( x^2 - 2x + 4 ) = ( x - 1 )( x + 2 )( x^2 + x + 1 )( x^2 - 2x + 4 ) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (2) ( x^2 + x )^2 - 8( x^2 + x ) + 12 ＜コメント＞ x^2 + x が共通にありますので、それをXに置き換えて、Xの2次式として 因数分解し、そのあと元に戻します。さらに因数分解できるときは、できる ところまで因数分解します。 ＜解答＞ x^2 + x = X とおくと ( x^2 + x )^2 - 8( x^2 + x ) + 12 = X^2 - 8X + 12 = ( X - 2 )( X - 6 ) = ( x^2 + x - 2 )( x^2 + x - 6 ) = ( x - 1 )( x + 2 )( x - 2 )( x + 3 ) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (3) ( x - 1 )( x - 2 )( x + 3 )( x + 4 ) - 36 ＜コメント＞ 前半の部分を工夫して展開し、(2)と同じような共通部分を作り出して、 因数分解します。 ＜解答＞ ( x - 1 )( x - 2 )( x + 3 )( x + 4 ) - 36 = ( x - 1 )( x + 3 )( x - 2 )( x + 4 ) - 36 = ( x^2 + 2x - 3 )( x^2 + 2x - 8 ) - 36 = ( x^2 + 2x )^2 - 11( x^2 + 2x ) + 24 - 36 = ( x^2 + 2x )^2 - 11( x^2 + 2x ) - 12 x^2 + x = X とおくと ( x^2 + 2x )^2 - 11( x^2 + 2x ) - 12 = X^2 - 11X - 12 = ( X + 1 )( X - 12 ) = ( x^2 + 2x + 1 )( x^2 + 2x - 12 ) = ( x + 1 )^2 ( x^2 + 2x - 12 ) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ (4) x^4 + x^2 + 1 ＜コメント＞ これは見た目は複2次式ですが、置き換えをしても因数分解できません。 これは別の方法で因数分解するのですが、普通は到底思いつくようなもので はありませんので、特殊なケースの因数分解として、その方法を覚え、新し い視点を手に入れるという考え方をしていただけると嬉しいです。 自分では思いつかないような解き方だからこそ、学ぶ価値があるのだと、 私は思っています。 ＜解答＞ x^4 + x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = ( x^2 )^2 + 2x^2 + 1 - x^2 = ( x^2 + 1 )^2 - x^2 x^2 + 1 = A とおくと ( x^2 + 1 )^2 - x^2 = A^2 - x^2 = ( A + x )( A - x ) = ( x^2 + 1 + x )( x^2 + 1 - x ) = ( x^2 + x + 1 )( x^2 - x + 1 ) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ 「数学マスターへの道」（毎週金曜日＋不定期） 発行システム：『まぐまぐ！』 http://www.mag2.com/ 発行人：そら（岩本 啓） 配信中止はこちらから→ http://www.mag2.com/m/0000184672.html ご意見・ご感想などはこちらへお願いします。 → E-Mail math_master@hotmail.co.jp → BLOG http://sora.mathemaster.com/ コーチングについてはこちらへ → Compass 2 Goal http://compass2goal.livedoor.biz/ バックナンバーはこちら → http://mathemaster.com/magback_index.htm ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━ このメルマガに掲載された記事の無断転載・引用を禁じます。 Copyright (C) 2009 Kei Iwamoto All rights reserved.
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