2009/10/31
☆日刊中高ＭＭ２３５３号◆山崎直和「数学まるかじり」(23) ★
≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪≪ 日刊『中・高校教師用ニュースマガジン』（中高ＭＭ）☆第２３５３号☆ ２００９年１０月３０日：金曜日発行 編集・発行 梶原末廣 sukaji@po.synapse.ne.jp http://www.synapse.ne.jp/~kanoyu/sukaji/index.html http://www.synapse.ne.jp/~kanoyu/kyoushi/index.html ☆★今日に生きる私と 明日に生きる君がつながりあえるように語り合おう★☆ ≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫≫ ====★☆INDEX★☆========================================================== ■「数学まるかじり」(23) 山崎直和（鹿児島） ===================================================◆◇==================== 【連載】 ■「数学まるかじり」(23) 県立鹿屋高等学校 山崎直和（鹿児島） go@naop.jp 数学教諭ＨＰ：http://naop.jp 【角度を科学する（２）】 今回は「三角比」のお話です。 そうです。多くの人が「高校数学で覚えている言葉は？」と聞かれると「サイン， コサイン，タンジェント」と答える，あの三角比です。 苦しめられた記憶のある人もたくさんいるのでは？ いったい，三角比とは何だったのでしょうか。 ------------------------------------------------------------------------------- 前回のこの連載では，坂道の角度というお話をしました。 現実にはほとんど断崖絶壁に見える「４５度の坂道」の場合，水平に１００ｍ進む と高さが１００ｍ上昇します。２００ｍ進むと，高さは２００ｍ上昇し，１ｋｍ進 むと，１ｋｍ上昇します。 つまり，「４５度の坂道」は，１進むと１上がる割合の坂道です。 同様に，３０度の坂道では，１０００ｍ進むと約５５７ｍ上がりますから，割合と しては１進むと０．５５７ (1／√3) 上がるといえますし，６０度の坂道では割合 として１進むと１．７３２ (√3) 上がるといえます。 この，坂道を１進んだときの上昇割合のことを，正接(タンジェント)といいます。 ４５度の坂道のタンジェントは１ ３０度の坂道のタンジェントは０．５７７ ６０度の坂道のタンジェントは１．７３２ ということになり，これを記号で tan４５°＝１ tan３０°＝０．５７７ tan６０°＝１．７３２ とかくことになります。見たことある式になってきましたね。 坂道は「実際の斜面上の長さ」，「水平方向に進む長さ」，「鉛直方向に進む長さ」 の３つの要素でできています。ちょうど，直角三角形の「斜辺」「底辺」「高さ」 にあたる部分です。タンジェントはこのときの「高さ÷底辺」のことを意味してい ます。 直角三角形の辺は３本ありますので，割合を考えるときの２辺の組み合わせは他に もあります。 「高さ÷底辺」 が「タンジェント」ならば， 「高さ÷斜辺」 は「サイン(正弦)」といい， 「底辺÷斜辺」 は「コサイン(余弦)」といいます。 この３つの辺の比をまとめて「三角比」と呼んでいるのです。 いずれにせよ，三角比とは，坂道がどのような割合で上昇するものかを示す比だと いえます。 ------------------------------------------------------------------------------- 三角比は，高校数学の中でも非常に実用性が高いものです。 その実例をいくつか紹介しますと，まず「三角比表」というものがあります。 （インターネットなどで検索すると，すぐに見ることができます。） これは，４５度の直角三角形ではタンジェントが，つまり「高さ÷底辺」がいくら になるか，１６度の直角三角形ではサイン，つまり「高さ÷斜辺」がいくらになる か，といった数値を計算して載せてある表です。 例えば富士山の高さは３７７６ｍですが，麓から山頂までの斜面をずっと登って計 測すれば，直角三角形の斜辺の長さが分かります。 これにより，富士山の「高さ÷斜辺」が計算できますから，富士山の「サイン」が 分かります。この数値を三角比表で調べてみると，富士山の傾斜が何度なのかが分 かることになります。 ------------------------------------------------------------------------------- しかし，このような単純な使い方だけではありません。 三角比の素晴らしいところは，「三角形に関するあらゆる計算」を可能にしたとい う点です。 別に直角三角形でなくとも，その三角形の角度や辺の長さ，面積，外接円や内接円 の半径などを，極めて少ない情報から計算で求めることができます。 三角形には６つの基本数値があります。 ３本の辺の長さと，３つの角の角度です。 この６つのうちの３つを測るだけで，残りの３つの数値，その三角形の面積，外接 円や内接円の半径は計算で導くことができるのです。 例えば，ある三角形の２辺の長さが３０ｋｍと１７ｋｍ，その間の角が４１度だと 分かったら，残りの辺の長さや角度，面積は，測らなくても分かるのです。 これは，山の高さや谷の深さ，土地の面積など，地理的な制約ですべてを自由に測 量できない場合に，大きな効力を発揮します。 こうした計算の中心となるのが正弦定理・余弦定理という２つの定理なのですが， 詳しい説明は省くことにして，それを応用して完成した便利公式を１つだけ紹介し ましょう。 ---------------------------------------------------------------------------- 三角形の面積は，「底辺×高さ÷２」で計算できます。これは小学生でも知ってい る有名な公式ですが，現実的にはちょっと不便な公式です。 普通，三角形の高さは測りません。 広大な土地に大きな三角形の土地があったとして，その面積を計算しろといわれた ら，皆さんはどこを測るでしょうか。 ３つの辺の長さが，一番簡単に，正確に測れると思いませんか？ 高さを測ろうと思ったら，底辺から垂直な線を正確に作図しなければならないし， 広い土地の上を，高さを測るためにまた歩かなければならないし，歩いている途 中で高さの線が曲がってしまうかもしれません・・・ ３辺の長さだけで面積が計算できたらいいのに・・・ それが，「ヘロンの公式」なのです。 例だけお見せします。 例えば３辺の長さが１５ｋｍ，１８ｋｍ，２１ｋｍの三角形の面積。 （１）まず３辺の長さを足します。・・・１５＋１８＋２１＝５４ （２）それを２で割ります。・・・５４÷２＝２７ （３）この数を使って，次のような計算をします。 ２７×（２７－１５）×（２７－１８）×（２７－２１）＝１７４９６ （４）ルートを取ります。・・・５４√6（＝１３２．３） ルートの計算は電卓でもできますので，この公式を使うと，巻尺だけをもって三角形 の長さを測り，手軽に面積を出すことができます。 しかも，どんな複雑な図形でも三角形に分けることができますから，分度器やコンパ スを一切使わず，辺の長さを測るだけでどんな土地の面積でも測ることができます。 ヘロンの公式は，古代の実用数学における大発明だったのです。 ---------------------------------------------------------------------------- 今日は少々難しい話になってしまいましたが，三角形の角を測るため，分度器からス タートした角度の数学は，三角比という概念を経て，再び三角形の測量という，原点 に返ってくることになりました。 その経過は確かに難しく，ややこしいものですが，最終的には大きな実用性を伴って， 私達の元に戻ってきてくれたのです。 角度の科学は，数学の中でも数少ない「実用的に完結した」，きれいな理論だと私は 思っています。 通勤途中のふとした坂道を目にするたび，古代の人々の英知や困難，自然への挑戦， そして構成の私たちに大きな財産を作ってくれたことへの感謝が浮かんでくるのです。 なんて，ちょっと大げさですかね。 ------------------------------------------------------------ 山崎直和のＨＰ：高校数学「なんちな」：http://naop.jp ------------------------------------------------------------ _____________________________________________________________ ============================================================================== ===編集日記=== 皆様に支えられて「日刊・中高ＭＭ」第２３５３号の発行です。 山崎直和先生の「角度を科学する」の完結編でした。 ・角度の科学は，数学の中でも数少ない「実用的に完結した」， きれいな理論だ 数学は建築であり芸術であるとは常套句かもしれませんが、今回こそがその美を 堪能できたようです。やはり学問（勉強）の大切さを痛感します。感謝。 ============================================================================== 皆様のご意見・ご感想お待ちしています。 sukaji@po.synapse.ne.jp 梶原末廣【インターネット編集長】 ======◆◇==================================================================== 中・高校教師用ニュースマガジン ２０００年３月２６日創刊 編集・発行 梶原末廣 sukaji@po.synapse.ne.jp 【発行部数１１８７名】 ◎バックナンバー http://archive.mag2.com/0000027395/index.html ☆日刊「中高ＭＭ」の登録と解除 http://www.mag2.com/m/0000027395.html http://www.synapse.ne.jp/~kanoyu/kyoushi/index.html ●日刊【中高ＭＭ】●マガジンＩＤ：０００００２７３９５ ■発行システム：インターネットの本屋さん『まぐまぐ』 http://www.mag2.com/ Copyright（C）,2000-2009 ChuukouMM INC 全文、または一部の記事の無断転載および再配布を禁じます。 ========================================◆◇===================================== ☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆２００９年☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆★☆ ◆「日刊 中・高校教師用ニュースマガジン」◆ 【１０月連載予定】 ３１ 2354 「日常性の教育学」(11)上條晴夫(宮城県） 【１１月連載予定】 ０１ 2355 「教育バブルを弾け」（７）木原ひろしげ(福岡県） ０２ 2356 「モスポイントたより」（64）クニコホール（アメリカ） ０３ 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